Задание №26 — Условия равновесия тела

Дано: R = 10 см = 0,1 м; r = 7 см = 0,07 м; масса бруска M; масса груза m; поверхность стола гладкая; брусок свешивается со стола менее чем наполовину; трением в оси блока пренебрегаем; L — длина бруска

Найти: $\left(\frac{m}{M}\right)_{max}$ - ?

Обоснование:
1) Задачу рассматриваем в инерциальной системе отсчёта, связанной с Землёй: ускорение этой системы отсчёта пренебрежимо мало, поэтому в ней применимы законы Ньютона.
2) Груз мал и движется поступательно (в предельном случае покоится), поэтому описываем его моделью материальной точки и применяем для него условие равновесия материальной точки.
3) Брусок — протяжённое твёрдое тело, его размеры существенны, поэтому для него применяем условия равновесия твёрдого тела: равенство нулю суммы всех сил и суммы моментов всех сил. Брусок однороден и имеет постоянное прямоугольное сечение, поэтому его центр тяжести находится в середине бруска.
4) Нити невесомы и нерастяжимы, поэтому сила натяжения одинакова по всей длине каждой нити. Блок невесом, трением в его оси пренебрегаем, поэтому сумма моментов сил натяжения нитей относительно оси блока равна нулю.
5) Поверхность стола гладкая, поэтому силы трения между бруском и столом нет: стол действует на брусок только силами нормальной реакции, направленными вертикально вверх. Горизонтальных сил в системе нет, поэтому брусок не может скользить, и потерять равновесие система может только из-за поворота бруска.

Решение:
1) На груз действуют сила тяжести $m \vec{g}$ (вниз) и сила натяжения нити $\vec{T}_{2}$ (вверх). На брусок действуют сила тяжести $M \vec{g}$ (приложена в середине бруска), сила натяжения нити $\vec{T}_{1}$ (приложена к концу B и направлена вертикально вверх) и сила нормальной реакции стола $\vec{N}$ (направлена вертикально вверх и приложена в опорной части бруска). На блок действуют силы натяжения нитей $\vec{T}_{1}'$ и $\vec{T}_{2}'$ и сила со стороны оси.
2) Условие равновесия груза:
$T_{2} = m g$
3) Правило моментов для невесомого блока относительно его оси. Нить с грузом закреплена на большем диске (плечо R), нить, идущая к бруску, — на меньшем (плечо r):
$T_{1} r = T_{2} R$
$T_{1} = \frac{m g R}{r}$
4) Условие равновесия бруска по вертикали:
$N + T_{1} = M g$
Правило моментов для бруска относительно его левого конца A (x — расстояние от A до точки приложения равнодействующей сил нормальной реакции):
$M g \cdot \frac{L}{2} = T_{1} L + N x$
5) Стол может только отталкивать брусок, поэтому $N \geq 0$ и точка приложения N лежит на опорной части бруска, то есть $x \geq 0 .$ С ростом $T_{1}$ точка приложения N смещается к концу A. Предельный случай наступает при x = 0: брусок начинает поворачиваться вокруг конца A. Тогда
$M g \cdot \frac{L}{2} = T_{1} L$
$T_{1 max} = \frac{M g}{2}$
6) Приравниваем два выражения для $T_{1} :$
$\frac{m g R}{r} = \frac{M g}{2}$
$\frac{m}{M} = \frac{r}{2 R} = \frac{0{,}07}{2 \cdot 0{,}1} = 0{,}35$

Ответ: $\left(\frac{m}{M}\right)_{max} = 0{,}35$

Источник: ФИПИ

Критерии оценивания выполнения задания (максимум 4 балла)

4 балла. Приведено полное решение, включающее следующие элементы: верно записаны формулы, выражающие физические законы, применение которых необходимо для решения задачи выбранным способом, и приведено обоснование их применимости (выбор ИСО, модели материальной точки для груза, модели твёрдого тела и положения центра тяжести для бруска, невесомых нерастяжимых нитей и невесомого блока без трения в оси, отсутствия трения между бруском и столом); описаны все вновь вводимые буквенные обозначения; сделан рисунок с указанием сил, действующих на брусок, груз и блок; проведены необходимые математические преобразования и расчёты, приводящие к правильному числовому ответу, и представлен ответ.

3 балла. Правильно записаны все необходимые формулы и приведено обоснование, но допущена ошибка в математических преобразованиях или вычислениях, приведшая к неверному числовому ответу; ИЛИ отсутствует числовой ответ (решение доведено только до общего вида).

2 балла. Записаны все необходимые формулы и получен верный ответ, но обоснование применимости законов отсутствует или дано не в полном объёме (пропущено одно и более обоснований); ИЛИ обоснование приведено полностью, но записаны не все исходные формулы.

1 балл. Записаны отдельные верные формулы, необходимые для решения задачи, но решение не доведено до ответа и обоснование не приведено.

0 баллов. Все случаи решения, которые не соответствуют указанным выше критериям.