Задание №10 — Теоретические основы информатики

Решение.

Для перевода числа из двоичной системы счисления в десятичную воспользуемся развёрнутой формой записи числа. Этот метод заключается в суммировании произведений каждой цифры числа на основание системы счисления (в данном случае $2$), возведённое в степень, соответствующую позиции (разряду) этой цифры.

Шаг 1. Пронумеруем разряды числа.
Нумерация разрядов всегда начинается с нуля и идёт справа налево. Запишем наше число и укажем над каждой цифрой её порядковый номер:
$\begin{matrix} 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{matrix}$

Шаг 2. Составим сумму степеней двойки.
Умножим каждую цифру на $2$ в степени, равной номеру разряда:
$1111001_{2} = 1 \cdot 2^{6} + 1 \cdot 2^{5} + 1 \cdot 2^{4} + 1 \cdot 2^{3} + 0 \cdot 2^{2} + 0 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0}$

Шаг 3. Вычислим значения степеней и произведений.
Вспомним значения степеней двойки:
$2^{6} = 64$
$2^{5} = 32$
$2^{4} = 16$
$2^{3} = 8$
$2^{2} = 4$
$2^{1} = 2$
$2^{0} = 1$

Подставим эти значения в наше выражение (слагаемые с нулём можно сразу отбросить, так как при умножении на ноль получается ноль):
$1 \cdot 64 + 1 \cdot 32 + 1 \cdot 16 + 1 \cdot 8 + 0 + 0 + 1 \cdot 1$
$64 + 32 + 16 + 8 + 1$

Шаг 4. Сложим полученные числа.
$64 + 32 = 96$
$96 + 16 = 112$
$112 + 8 = 120$
$120 + 1 = 121$

Таким образом, двоичное число $1111001_{2}$ равно десятичному числу $121_{10}$.

Ответ: 121

Источник: ФИПИ