Задание №10 — Теоретические основы информатики

Решение.

Для перевода числа из двоичной системы счисления в десятичную воспользуемся развёрнутой формой записи числа. Этот метод заключается в том, что мы умножаем каждую цифру числа на основание системы счисления (в данном случае $2$), возведённое в степень, соответствующую позиции (разряду) этой цифры.

Шаг 1. Пронумеруем разряды.
Запишем число и пронумеруем его разряды справа налево, начиная с нуля:
Цифра: $1$, $1$, $0$, $1$, $0$, $0$, $1$
Разряд: $6$, $5$, $4$, $3$, $2$, $1$, $0$

Шаг 2. Составим сумму произведений.
Запишем выражение, где каждая цифра умножается на двойку в степени её разряда:
$1101001_{2} = 1 \cdot 2^{6} + 1 \cdot 2^{5} + 0 \cdot 2^{4} + 1 \cdot 2^{3} + 0 \cdot 2^{2} + 0 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0}$

Шаг 3. Вычислим степени двойки.
Вспомним значения степеней числа $2$:
$2^{6} = 64$
$2^{5} = 32$
$2^{4} = 16$
$2^{3} = 8$
$2^{2} = 4$
$2^{1} = 2$
$2^{0} = 1$

Шаг 4. Подставим значения и произведём расчёты.
Заметим, что слагаемые с множителем $0$ можно сразу исключить, так как они равны нулю:
$1 \cdot 64 + 1 \cdot 32 + 0 \cdot 16 + 1 \cdot 8 + 0 \cdot 4 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 1 =$
$= 64 + 32 + 8 + 1$

Сложим полученные числа:
$64 + 32 = 96$
$96 + 8 = 104$
$104 + 1 = 105$

Таким образом, двоичное число $1101001_{2}$ равно $105$ в десятичной системе счисления.

Ответ: 105

Источник: ФИПИ