Задание №10 — Теоретические основы информатики

Решение.

Для перевода числа из двоичной системы счисления в десятичную воспользуемся развёрнутой формой записи числа. Этот метод заключается в том, что мы умножаем каждую цифру числа на основание системы счисления (в данном случае это $2$), возведённое в степень, соответствующую позиции (разряду) этой цифры.

Шаг 1. Пронумеруем разряды.
Запишем число и пронумеруем его разряды справа налево, начиная с нуля:
Цифра $1$ стоит в разряде $6$
Цифра $1$ стоит в разряде $5$
Цифра $1$ стоит в разряде $4$
Цифра $0$ стоит в разряде $3$
Цифра $0$ стоит в разряде $2$
Цифра $0$ стоит в разряде $1$
Цифра $1$ стоит в разряде $0$

Шаг 2. Составим сумму степеней двойки.
Запишем выражение, где каждая единица или ноль умножается на двойку в степени номера разряда:
$1110001_{2} = 1 \cdot 2^{6} + 1 \cdot 2^{5} + 1 \cdot 2^{4} + 0 \cdot 2^{3} + 0 \cdot 2^{2} + 0 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0}$

Шаг 3. Вычислим значения степеней и произведём сложение.
Вспомним значения степеней двойки:
$2^{6} = 64$
$2^{5} = 32$
$2^{4} = 16$
$2^{0} = 1$ (любое число в нулевой степени равно единице)
Слагаемые с нулями можно сразу отбросить, так как при умножении на ноль получается ноль.

Подставим значения в наше выражение:
$1 \cdot 64 + 1 \cdot 32 + 1 \cdot 16 + 0 + 0 + 0 + 1 \cdot 1 = 64 + 32 + 16 + 1$

Шаг 4. Итоговый подсчёт.
Сложим полученные числа:
$64 + 32 = 96$
$96 + 16 = 112$
$112 + 1 = 113$

Таким образом, двоичное число $1110001_{2}$ равно десятичному числу $113_{10}$.

Ответ: 113

Источник: ФИПИ