Задание №10 — Теоретические основы информатики

Решение.

Для перевода числа из двоичной системы счисления в десятичную воспользуемся развёрнутой формой записи числа. Это значит, что нам нужно умножить каждую цифру числа на основание системы счисления (в данном случае это $2$), возведённое в степень, соответствующую позиции (разряду) этой цифры.

Шаг 1. Пронумеруем разряды числа.
Нумерация разрядов всегда начинается с нуля и идёт справа налево. Запишем наше число и укажем над каждой цифрой её индекс (степень):
$\begin{matrix} 6 & 5 & 4 & 3 & 2 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 1 \end{matrix}$

Шаг 2. Составим сумму произведений.
Теперь запишем выражение, где каждая цифра умножается на двойку в степени своего разряда:
$1 \cdot 2^{6} + 0 \cdot 2^{5} + 1 \cdot 2^{4} + 1 \cdot 2^{3} + 1 \cdot 2^{2} + 0 \cdot 2^{1} + 1 \cdot 2^{0}$

Шаг 3. Вычислим значения степеней двойки.
Вспомним (или вычислим) значения степеней числа $2$:
$2^{6} = 64$
$2^{5} = 32$
$2^{4} = 16$
$2^{3} = 8$
$2^{2} = 4$
$2^{1} = 2$
$2^{0} = 1$ (любое число в нулевой степени равно единице)

Шаг 4. Подставим значения и найдём итоговую сумму.
Заметим, что слагаемые, где цифра равна $0$, можно сразу отбросить, так как при умножении на ноль получится ноль:
$1 \cdot 64 + 0 \cdot 32 + 1 \cdot 16 + 1 \cdot 8 + 1 \cdot 4 + 0 \cdot 2 + 1 \cdot 1 =$
$= 64 + 16 + 8 + 4 + 1$
Сложим числа по порядку:
$64 + 16 = 80$
$80 + 8 = 88$
$88 + 4 = 92$
$92 + 1 = 93$

Таким образом, двоичное число $1011101_{2}$ равно десятичному числу $93_{10}$.

Ответ: 93

Источник: ФИПИ