Задание №4 — Уравнения и неравенства

Решение.

1. Из условия задачи нам известно, что лист формата А0 имеет площадь $S_0 = 1$ м². Переведём эту площадь в квадратные миллиметры, так как ответ нужно дать в миллиметрах. Поскольку $1 \text{ м} = 1000 \text{ мм}$, то $1 \text{ м}^2 = 1000 \times 1000 = 1\,000\,000 \text{ мм}^2$.

2. Пусть длина листа А0 равна $a$, а его ширина равна $b$. По условию, отношение большей стороны к меньшей у всех листов одинаково. Обозначим это отношение как $k$. Тогда $a = k \cdot b$. При разрезании листа А0 пополам получается лист А1, у которого большая сторона равна $b$, а меньшая — $a/2$. Составим пропорцию: $\frac{a}{b} = \frac{b}{a/2}$. Отсюда $\frac{a^2}{2} = b^2$, то есть $a^2 = 2b^2$, значит $a = b\sqrt{2}$. Таким образом, отношение сторон $k = \sqrt{2} \approx 1,414$.

3. Найдём размеры листа А0. Мы знаем, что $a \cdot b = 1\,000\,000$ и $a = b\sqrt{2}$. Подставим: $b\sqrt{2} \cdot b = 1\,000\,000$, откуда $b^2 = \frac{1\,000\,000}{\sqrt{2}}$. Тогда $b = \sqrt{\frac{1\,000\,000}{\sqrt{2}}} = \frac{1000}{\sqrt[4]{2}}$. Длина листа А0: $a = b\sqrt{2} = 1000 \cdot \sqrt[4]{2}$. Приблизительно $a \approx 1189 \text{ мм}$, $b \approx 841 \text{ мм}$.

4. При каждом следующем делении (от А0 к А1, от А1 к А2 и т.д.) размеры сторон уменьшаются в $\sqrt{2}$ раз. Чтобы найти длину листа А6, заметим, что лист А6 получается из А0 путем 6-кратного деления. Длина листа А6 будет в $2^3 = 8$ раз меньше длины листа А0 (так как каждые два деления уменьшают линейные размеры ровно в 2 раза: А0 → А2 → А4 → А6).

5. Вычислим длину листа А6:
$L_{A6} = \frac{a}{2^3} = \frac{1189}{8} = 148,625 \text{ мм}$.

6. По условию задачи полученный результат необходимо округлить до ближайшего целого числа, кратного 10. Число 148,625 находится между 140 и 150. Ближайшее к нему число, кратное 10, — это 150.

Ответ: 150

Источник: ФИПИ