Задание №4 — Уравнения и неравенства

Решение.

1. Из условия задачи нам известно, что лист формата А0 имеет площадь $S_0 = 1$ кв. м. При разрезании листа А0 пополам получаются два листа формата А1. Значит, площадь одного листа формата А1 в два раза меньше площади листа А0:
$S_1 = \frac{1}{2} = 0,5$ кв. м.

2. Переведём площадь листа А1 в квадратные миллиметры, так как ответ нужно дать в миллиметрах.
В 1 метре $1000$ мм, следовательно, в 1 квадратном метре $1000 \times 1000 = 1\,000\,000$ кв. мм.
Тогда $S_1 = 0,5 \times 1\,000\,000 = 500\,000$ кв. мм.

3. Пусть $a$ — большая сторона (длина) листа А1, а $b$ — его меньшая сторона (ширина). По условию, отношение сторон у всех форматов одинаковое. Обозначим это отношение как $k = \frac{a}{b}$.
При разрезании листа А0 пополам его большая сторона становится меньшей стороной листа А1, а половина его меньшей стороны становится... (или проще): из подобия прямоугольников следует, что для всех форматов отношение длины к ширине равно $\sqrt{2}$.
Докажем это: если мы сложим два листа А1 по длинной стороне $a$, получим лист А0 со сторонами $2b$ и $a$. Чтобы прямоугольники были подобны, должно выполняться равенство: $\frac{a}{b} = \frac{2b}{a}$.
Отсюда $a^2 = 2b^2$, то есть $\frac{a}{b} = \sqrt{2}$. Значит, $a = b\sqrt{2}$.

4. Подставим это выражение в формулу площади листа А1:
$S_1 = a \cdot b = a \cdot \frac{a}{\sqrt{2}} = \frac{a^2}{\sqrt{2}}$.
Зная, что $S_1 = 500\,000$, получаем уравнение:
$\frac{a^2}{\sqrt{2}} = 500\,000$
$a^2 = 500\,000 \cdot \sqrt{2}$.

5. Используем приближённое значение $\sqrt{2} \approx 1,4142$:
$a^2 \approx 500\,000 \cdot 1,4142 = 707\,100$.
Теперь извлечём корень:
$a = \sqrt{707\,100} \approx 840,89$.

6. По условию задачи полученный результат нужно округлить до ближайшего целого числа, кратного 10.
Число $840,89$ находится между $840$ и $850$. Ближайшее к нему целое число — $841$, а ближайшее кратное десяти — $840$.

Ответ: 840

Источник: ФИПИ