Задание №21 — ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Проанализируем график зависимости температуры $t$ от количества теплоты $Q$.
1. Верхний график соответствует охлаждению воды: начальная температура воды $t_{в} = 40 \text{ °C}$, конечная температура в системе $t_{к} = 0 \text{ °C}$.
2. Нижний график соответствует нагреванию и плавлению льда: начальная температура льда $t_{л} = -10 \text{ °C}$ (одна клетка вниз от нуля при цене деления $10 \text{ °C}$). Сначала лёд нагревается до $0 \text{ °C}$, затем начинается процесс плавления (горизонтальный участок).
3. Так как графики пересекаются в точке, где температура воды достигла $0 \text{ °C}$, а лёд ещё находится в процессе плавления, конечная температура смеси равна $0 \text{ °C}$.

Дано:
$m_{л} = 2 m_{в}$
$\Delta m_{л} = 105 \text{ г} = 0,105 \text{ кг}$
$t_{в} = 40 \text{ °C}$
$t_{л} = -10 \text{ °C}$
$t_{к} = 0 \text{ °C}$
$c_{в} = 4200 \text{ Дж/(кг·°C)}$
$c_{л} = 2100 \text{ Дж/(кг·°C)}$
$\lambda = 3,3 \cdot 10^{5} \text{ Дж/кг}$
$m_{л} - ?$

Математическое описание процесса:
Согласно уравнению теплового баланса, количество теплоты, отданное горячей водой при охлаждении, равно количеству теплоты, полученному льдом для нагревания и частичного плавления:
$Q_{отд} = Q_{пол}$

1. Теплота, отданная водой при охлаждении до $0 \text{ °C}$:
$Q_{отд} = c_{в} m_{в} (t_{в} - t_{к})$

2. Теплота, полученная льдом для нагрева до $0 \text{ °C}$ и плавления его части массой $\Delta m_{л}$:
$Q_{пол} = c_{л} m_{л} (t_{к} - t_{л}) + \lambda \Delta m_{л}$

3. Составим уравнение, учитывая, что $m_{в} = \frac{m_{л}}{2}$:
$c_{в} \frac{m_{л}}{2} (t_{в} - t_{к}) = c_{л} m_{л} (t_{к} - t_{л}) + \lambda \Delta m_{л}$

4. Сгруппируем слагаемые с искомой величиной $m_{л}$ в левой части:
$m_{л} \cdot \left( \frac{c_{в} (t_{в} - t_{к})}{2} - c_{л} (t_{к} - t_{л}) \right) = \lambda \Delta m_{л}$

5. Выведем рабочую формулу для $m_{л}$:
$m_{л} = \frac{\lambda \Delta m_{л}}{\frac{c_{в} (t_{в} - t_{к})}{2} - c_{л} (t_{к} - t_{л})}$

Вычисления:
$m_{л} = \frac{330000 \cdot 0,105}{\frac{4200 \cdot (40 - 0)}{2} - 2100 \cdot (0 - (-10))}$
$m_{л} = \frac{34650}{\frac{168000}{2} - 2100 \cdot 10} = \frac{34650}{84000 - 21000} = \frac{34650}{63000} = 0,55 \text{ кг}$

Переведем в граммы: $0,55 \text{ кг} = 550 \text{ г}$.

Ответ: 550 г

Источник: ФИПИ