Задание №21 — МЕХАНИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся законами кинематики и законом изменения механической энергии.

Дано:
$H = 100 \text{ м}$
$m = 2 \text{ кг}$
$v_0 = 0 \text{ м/с}$
$t = 5 \text{ с}$
$g = 10 \text{ м/с}^2$
$|A_{\text{сопр}}| - ?$

Анализ и формулы:
1. Мяч падает с высоты $H$. Если бы сопротивления воздуха не было, он падал бы с ускорением свободного падения $g$. Однако наличие силы сопротивления делает его ускорение $a$ меньше, чем $g$.
2. Согласно условию, движение равноускоренное. Пройденный путь (высота $H$) при движении из состояния покоя вычисляется по формуле:
$H = \frac{a \cdot t^2}{2}$
Отсюда мы можем найти реальное ускорение мяча $a$:
$a = \frac{2 \cdot H}{t^2}$
3. На мяч действуют две силы: сила тяжести $F_{\text{т}} = m \cdot g$, направленная вниз, и сила сопротивления $F_{\text{сопр}}$, направленная вверх. По второму закону Ньютона в проекции на ось, направленную вниз:
$m \cdot g - F_{\text{сопр}} = m \cdot a$
Отсюда выразим модуль силы сопротивления:
$F_{\text{сопр}} = m \cdot g - m \cdot a = m \cdot (g - a)$
4. Работа силы сопротивления при перемещении мяча на расстояние $H$ равна произведению модуля силы на пройденный путь и на косинус угла между силой и перемещением. Так как сила сопротивления направлена против движения, её работа отрицательна, а модуль работы равен:
$|A_{\text{сопр}}| = F_{\text{сопр}} \cdot H$
Подставим выражение для силы:
$|A_{\text{сопр}}| = m \cdot (g - a) \cdot H$

Вычисления:
1. Найдем ускорение мяча:
$a = \frac{2 \cdot 100 \text{ м}}{(5 \text{ с})^2} = \frac{200}{25} \text{ м/с}^2 = 8 \text{ м/с}^2$
2. Найдем модуль работы силы сопротивления:
$|A_{\text{сопр}}| = 2 \text{ кг} \cdot (10 \text{ м/с}^2 - 8 \text{ м/с}^2) \cdot 100 \text{ м}$
$|A_{\text{сопр}}| = 2 \cdot 2 \cdot 100 = 400 \text{ Дж}$

Проверка размерности:
$[A] = \text{кг} \cdot \text{м/с}^2 \cdot \text{м} = \text{Н} \cdot \text{м} = \text{Дж}$

Ответ: 400 Дж

Источник: ФИПИ