Задание №21 — МЕХАНИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Дано:
$V_{шара} = 0,1 \text{ м}^3$
$V_{погр} = 0,89 \cdot V_{шара}$
$\rho_{мед} = 8900 \text{ кг/м}^3$ (плотность меди из справочных данных)
$\rho_{кер} = 800 \text{ кг/м}^3$ (плотность керосина из справочных данных)
$g = 10 \text{ Н/кг}$
Найти:
$V_{пол} - ?$

Анализ и физические законы:
1. На шар, плавающий в жидкости, действуют две силы: сила тяжести $F_{тяж}$, направленная вертикально вниз, и выталкивающая сила (сила Архимеда) $F_A$, направленная вертикально вверх. Согласно условию плавания тел, эти силы уравновешивают друг друга:
$F_{тяж} = F_A$.
2. Сила тяжести определяется массой меди, из которой сделан шар (массой воздуха в полости пренебрегаем):
$F_{тяж} = m \cdot g$, где $m = \rho_{мед} \cdot V_{мед}$.
3. Объём меди $V_{мед}$ равен разности между наружным объёмом шара и объёмом полости:
$V_{мед} = V_{шара} - V_{пол}$.
4. Сила Архимеда равна весу вытесненной жидкости:
$F_A = \rho_{кер} \cdot g \cdot V_{погр}$.

Вывод формулы:
Подставим выражения для сил в уравнение равновесия:
$\rho_{мед} \cdot (V_{шара} - V_{пол}) \cdot g = \rho_{кер} \cdot g \cdot V_{погр}$.
Сократим на $g$:
$\rho_{мед} \cdot (V_{шара} - V_{пол}) = \rho_{кер} \cdot V_{погр}$.
Раскроем скобки:
$\rho_{мед} \cdot V_{шара} - \rho_{мед} \cdot V_{пол} = \rho_{кер} \cdot V_{погр}$.
Выразим слагаемое с искомой величиной:
$\rho_{мед} \cdot V_{пол} = \rho_{мед} \cdot V_{шара} - \rho_{кер} \cdot V_{погр}$.
Отсюда объём полости:
$V_{пол} = \frac{\rho_{мед} \cdot V_{шара} - \rho_{кер} \cdot V_{погр}}{\rho_{мед}}$.
Разделим почленно для удобства вычислений:
$V_{пол} = V_{шара} - \frac{\rho_{кер} \cdot V_{погр}}{\rho_{мед}}$.

Вычисления:
Сначала найдем объём погруженной части:
$V_{погр} = 0,89 \cdot 0,1 \text{ м}^3 = 0,089 \text{ м}^3$.
Теперь подставим все значения в формулу:
$V_{пол} = 0,1 \text{ м}^3 - \frac{800 \text{ кг/м}^3 \cdot 0,089 \text{ м}^3}{8900 \text{ кг/м}^3}$.
$V_{пол} = 0,1 \text{ м}^3 - \frac{71,2}{8900} \text{ м}^3$.
$V_{пол} = 0,1 \text{ м}^3 - 0,008 \text{ м}^3 = 0,092 \text{ м}^3$.

Ответ: $V_{пол} = 0,092 \text{ м}^3$.

Источник: ФИПИ