Задание №21 — МЕХАНИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Дано:
$P_1 = 3,4 \text{ Н}$ — вес цилиндра в воде;
$P_2 = 3,8 \text{ Н}$ — вес цилиндра в керосине;
$\rho_{\text{в}} = 1000 \text{ кг/м}^3$ — плотность воды;
$\rho_{\text{к}} = 800 \text{ кг/м}^3$ — плотность керосина;
$g = 10 \text{ Н/кг}$ — ускорение свободного падения.
Найти:
$\rho_{\text{м}}$ — ?

Анализ и физические законы:
1. На тело, погруженное в жидкость, действуют две силы: сила тяжести $F_{\text{т}} = mg$, направленная вниз, и выталкивающая сила (сила Архимеда) $F_{\text{А}}$, направленная вверх.
2. Показание динамометра $P$ (вес тела в жидкости) равно разности силы тяжести и силы Архимеда: $P = F_{\text{т}} - F_{\text{А}}$.
3. Сила тяжести выражается через плотность металла $\rho_{\text{м}}$ и объем цилиндра $V$: $F_{\text{т}} = \rho_{\text{м}} \cdot V \cdot g$.
4. Сила Архимеда для полностью погруженного тела: $F_{\text{А}} = \rho_{\text{ж}} \cdot V \cdot g$, где $\rho_{\text{ж}}$ — плотность жидкости.

Вывод формулы:
Запишем уравнения для двух случаев:
1) Для воды: $P_1 = \rho_{\text{м}} V g - \rho_{\text{в}} V g = V g (\rho_{\text{м}} - \rho_{\text{в}})$
2) Для керосина: $P_2 = \rho_{\text{м}} V g - \rho_{\text{к}} V g = V g (\rho_{\text{м}} - \rho_{\text{к}})$

Разделим второе уравнение на первое, чтобы избавиться от неизвестного объема $V$ и константы $g$:
$\frac{P_2}{P_1} = \frac{V g (\rho_{\text{м}} - \rho_{\text{к}})}{V g (\rho_{\text{м}} - \rho_{\text{в}})}$
$\frac{P_2}{P_1} = \frac{\rho_{\text{м}} - \rho_{\text{к}}}{\rho_{\text{м}} - \rho_{\text{в}}}$

Используя свойство пропорции, перемножим крест-накрест:
$P_2 (\rho_{\text{м}} - \rho_{\text{в}}) = P_1 (\rho_{\text{м}} - \rho_{\text{к}})$
$P_2 \rho_{\text{м}} - P_2 \rho_{\text{в}} = P_1 \rho_{\text{м}} - P_1 \rho_{\text{к}}$
Перенесем слагаемые с $\rho_{\text{м}}$ в левую часть, а остальные в правую:
$P_2 \rho_{\text{м}} - P_1 \rho_{\text{м}} = P_2 \rho_{\text{в}} - P_1 \rho_{\text{к}}$
$\rho_{\text{м}} (P_2 - P_1) = P_2 \rho_{\text{в}} - P_1 \rho_{\text{к}}$
$\rho_{\text{м}} = \frac{P_2 \rho_{\text{в}} - P_1 \rho_{\text{к}}}{P_2 - P_1}$

Вычисления:
$\rho_{\text{м}} = \frac{3,8 \text{ Н} \cdot 1000 \text{ кг/м}^3 - 3,4 \text{ Н} \cdot 800 \text{ кг/м}^3}{3,8 \text{ Н} - 3,4 \text{ Н}}$
$\rho_{\text{м}} = \frac{3800 - 2720}{0,4} = \frac{1080}{0,4} = 2700 \text{ кг/м}^3$

Проверка размерности:
$[\rho_{\text{м}}] = \frac{\text{Н} \cdot \text{кг/м}^3 - \text{Н} \cdot \text{кг/м}^3}{\text{Н}} = \frac{\text{Н} \cdot \text{кг/м}^3}{\text{Н}} = \text{кг/м}^3$

Ответ: 2700 кг/м³

Источник: ФИПИ