Задание №21 — МЕХАНИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Для решения данной задачи разделим процесс на два этапа: взаимодействие конькобежца с предметом (бросок) и последующее движение конькобежца до остановки под действием силы трения.

Дано:
$M = 80 \text{ кг}$ — масса конькобежца
$v_p = 20 \text{ м/с}$ — скорость предмета
$S = 40 \text{ см} = 0,4 \text{ м}$ — путь конькобежца до остановки
$\mu = 0,02$ — коэффициент трения
$v_{кон} = 0 \text{ м/с}$ — конечная скорость конькобежца
$g = 10 \text{ м/с}^2$ — ускорение свободного падения
Найти:
$m - ?$ — масса предмета

1. Анализ взаимодействия (Закон сохранения импульса).
В момент броска система «конькобежец — предмет» считается замкнутой в горизонтальном направлении, так как время броска мало. По закону сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось (направленную по движению предмета):
$0 = m \cdot v_p - M \cdot V$,
где $V$ — скорость, которую приобретает конькобежец сразу после броска.
Отсюда выразим скорость конькобежца:
$V = \frac{m \cdot v_p}{M}$ (1)

2. Анализ движения конькобежца (Теорема об изменении кинетической энергии).
После броска конькобежец движется равнозамедленно под действием силы трения $F_{тр} = \mu \cdot N = \mu \cdot M \cdot g$.
Работа силы трения $A_{тр} = -F_{тр} \cdot S$ равна изменению кинетической энергии конькобежца:
$\Delta E_k = E_{k2} - E_{k1} = 0 - \frac{M \cdot V^2}{2}$.
Следовательно: $-\mu \cdot M \cdot g \cdot S = -\frac{M \cdot V^2}{2}$.
Сократим на $-M$ и выразим квадрат скорости:
$V^2 = 2 \cdot \mu \cdot g \cdot S$, откуда $V = \sqrt{2 \cdot \mu \cdot g \cdot S}$ (2)

3. Вывод рабочей формулы.
Приравняем выражения (1) и (2) для скорости $V$:
$\frac{m \cdot v_p}{M} = \sqrt{2 \cdot \mu \cdot g \cdot S}$.
Выразим массу предмета $m$:
$m = \frac{M \cdot \sqrt{2 \cdot \mu \cdot g \cdot S}}{v_p}$.

4. Вычисления.
Подставим числовые значения:
$m = \frac{80 \text{ кг} \cdot \sqrt{2 \cdot 0,02 \cdot 10 \text{ м/с}^2 \cdot 0,4 \text{ м}}}{20 \text{ м/с}}$
$m = \frac{80 \cdot \sqrt{0,16}}{20} = \frac{80 \cdot 0,4}{20} = 4 \cdot 0,4 = 1,6 \text{ кг}$.

Проверка размерности:
$[m] = \frac{\text{кг} \cdot \sqrt{\frac{\text{м}}{\text{с}^2} \cdot \text{м}}}{\frac{\text{м}}{\text{с}}} = \frac{\text{кг} \cdot \frac{\text{м}}{\text{с}}}{\frac{\text{м}}{\text{с}}} = \text{кг}$.

Ответ: $m = 1,6 \text{ кг}$

Источник: ФИПИ