Задание №21 — ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся понятием тепловой мощности. По условию мощность передачи тепла $P$ от окружающей среды к бруску льда постоянна. Это значит, что количество теплоты $Q$, получаемое телом, прямо пропорционально времени нагревания $t$: $Q = P \cdot t$.

Дано:
t_1 = -30 \, ^\circ\text{C} — начальная температура льда
t_2 = 0 \, ^\circ\text{C} — температура плавления льда
$\tau_{пл} = 20 \, \text{мин} = 1200 \, \text{с}$ — время плавления
$c_л = 2100 \, \text{Дж/(кг} \cdot ^\circ\text{C)}$ — удельная теплоемкость льда
$\lambda = 3,3 \cdot 10^5 \, \text{Дж/кг}$ — удельная теплота плавления льда
$P = \text{const}$
Найти:
$\tau_{нагр}$ — ?

Рассуждение и формулы:
1. Процесс нагревания льда от $t_1$ до $t_2$.
Количество теплоты, необходимое для нагревания: $Q_1 = c_л \cdot m \cdot (t_2 - t_1)$.
С другой стороны, через мощность: $Q_1 = P \cdot \tau_{нагр}$.
Следовательно: $P \cdot \tau_{нагр} = c_л \cdot m \cdot (t_2 - t_1)$ (1).

2. Процесс плавления льда при температуре $t_2$.
Количество теплоты, необходимое для плавления всей массы льда: $Q_2 = \lambda \cdot m$.
Через мощность: $Q_2 = P \cdot \tau_{пл}$.
Следовательно: $P \cdot \tau_{пл} = \lambda \cdot m$ (2).

3. Вывод рабочей формулы.
Разделим уравнение (1) на уравнение (2):
$\frac{P \cdot \tau_{нагр}}{P \cdot \tau_{пл}} = \frac{c_л \cdot m \cdot (t_2 - t_1)}{\lambda \cdot m}$.
Сократим на мощность $P$ и массу $m$:
$\frac{\tau_{нагр}}{\tau_{пл}} = \frac{c_л \cdot (t_2 - t_1)}{\lambda}$.
Отсюда выразим искомое время нагревания:
$\tau_{нагр} = \tau_{пл} \cdot \frac{c_л \cdot (t_2 - t_1)}{\lambda}$.

Вычисления:
Подставим значения (время можно оставить в минутах, тогда ответ тоже получится в минутах):
\tau_{нагр} = 20 \, \text{мин} \cdot \frac{2100 \, \text{Дж/(кг} \cdot ^\circ\text{C)} \cdot (0 \, ^\circ\text{C} - (-30 \, ^\circ\text{C}))}{330000 \, \text{Дж/кг}}
$\tau_{нагр} = 20 \cdot \frac{2100 \cdot 30}{330000} = 20 \cdot \frac{63000}{330000} = 20 \cdot \frac{63}{330} = 20 \cdot \frac{21}{110} = \frac{420}{110} \approx 3,82 \, \text{мин}$.

Переведем в секунды для точности: $\frac{420}{110} \cdot 60 \approx 229 \, \text{с}$.
Если использовать табличное значение $\lambda = 3,4 \cdot 10^5 \, \text{Дж/кг}$:
$\tau_{нагр} = 20 \cdot \frac{2100 \cdot 30}{340000} = 20 \cdot \frac{63000}{340000} \approx 3,7 \, \text{мин} \approx 222 \, \text{с}$.
Обычно в ОГЭ используют $\lambda = 3,3 \cdot 10^5 \, \text{Дж/кг}$.

Ответ: $\approx 3,8 \, \text{мин}$ (или $229 \, \text{с}$).

Источник: ФИПИ