Задание №21 — МЕХАНИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Дано:
$m_1 = 20$ т $= 20 \cdot 10^3$ кг
$m_2 = 20$ т $= 20 \cdot 10^3$ кг
$v_1 = 2$ м/с
$v_2 = 1$ м/с
$S = 25$ м
$v_{кон} = 0$ м/с
Найти: $a$ — ?

1. Применение закона сохранения импульса.
Рассмотрим систему из двух вагонов. Так как удар (сцепка) происходит мгновенно, внешними силами сопротивления за время удара можно пренебречь. Согласно закону сохранения импульса в векторном виде:
$m_1 \vec{v}_1 + m_2 \vec{v}_2 = (m_1 + m_2) \vec{u}$,
где $\vec{u}$ — скорость вагонов сразу после сцепки.

Выберем ось $Ox$ вдоль направления движения первого вагона. Тогда проекция скорости первого вагона положительна ($v_1$), а второго — отрицательна ($-v_2$), так как он движется навстречу. Запишем уравнение в проекциях:
$m_1 v_1 - m_2 v_2 = (m_1 + m_2) u$

Так как по условию массы вагонов равны ($m_1 = m_2 = m$), формула упрощается:
$m v_1 - m v_2 = 2m u$
$m(v_1 - v_2) = 2m u$
Отсюда находим скорость вагонов сразу после сцепки:
$u = \frac{v_1 - v_2}{2}$

Подставим значения:
$u = \frac{2 \text{ м/с} - 1 \text{ м/с}}{2} = 0,5$ м/с.

2. Кинематика движения после сцепки.
После сцепки вагоны движутся равнозамедленно до полной остановки. Связь между перемещением $S$, начальной скоростью $u$, конечной скоростью $v_{кон}$ и ускорением $a$ выражается формулой:
$S = \frac{v_{кон}^2 - u^2}{-2a}$
Поскольку конечная скорость $v_{кон} = 0$, формула принимает вид:
$S = \frac{u^2}{2a}$

Выразим модуль ускорения $a$:
$a = \frac{u^2}{2S}$

3. Вычисление итогового значения.
Подставим полученное значение скорости $u$ в формулу для ускорения:
$a = \frac{(0,5 \text{ м/с})^2}{2 \cdot 25 \text{ м}} = \frac{0,25 \text{ м}^2/\text{с}^2}{50 \text{ м}} = 0,005$ м/с².

Проверим размерность:
$[a] = \frac{(\text{м/с})^2}{\text{м}} = \frac{\text{м}^2}{\text{с}^2 \cdot \text{м}} = \text{м/с}^2$. Размерность верна.

Ответ: $a = 0,005$ м/с².

Источник: ФИПИ