Задание №21 — МЕХАНИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Дано:
$a = 20 \text{ см} = 0,2 \text{ м}$
$\rho = 850 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$
$\rho_1 = 1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$ (плотность воды)
$\rho_2 = 800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}$ (плотность керосина)
$g = 10 \frac{\text{Н}}{\text{кг}}$
$h_1 - ?$

Анализ и физические законы:
1. Кубик находится в равновесии (плавает) на границе раздела двух несмешивающихся жидкостей. Согласно условию плавания тел, сила тяжести, действующая на кубик, уравновешивается выталкивающей силой (силой Архимеда):
$F_{\text{тяж}} = F_A$.
2. Сила тяжести кубика: $F_{\text{тяж}} = m \cdot g = \rho \cdot V \cdot g$, где $V = a^3$ — полный объём кубика.
3. Выталкивающая сила в данном случае складывается из сил Архимеда, действующих на части кубика в разных жидкостях:
$F_A = F_{A1} + F_{A2} = \rho_1 \cdot g \cdot V_1 + \rho_2 \cdot g \cdot V_2$,
где $V_1$ — объём части кубика в воде, $V_2$ — объём части кубика в керосине.
4. Пусть $h_1$ — глубина погружения в воду, тогда $h_2 = a - h_1$ — высота части кубика в керосине.
Так как площадь основания кубика $S = a^2$, то:
$V_1 = S \cdot h_1 = a^2 \cdot h_1$,
$V_2 = S \cdot (a - h_1) = a^2 \cdot (a - h_1)$.

Вывод рабочей формулы:
Запишем уравнение равновесия:
$\rho \cdot a^3 \cdot g = \rho_1 \cdot g \cdot a^2 \cdot h_1 + \rho_2 \cdot g \cdot a^2 \cdot (a - h_1)$.
Разделим обе части уравнения на $g \cdot a^2$:
$\rho \cdot a = \rho_1 \cdot h_1 + \rho_2 \cdot (a - h_1)$.
Раскроем скобки:
$\rho \cdot a = \rho_1 \cdot h_1 + \rho_2 \cdot a - \rho_2 \cdot h_1$.
Сгруппируем слагаемые с $h_1$:
$\rho \cdot a - \rho_2 \cdot a = h_1 \cdot (\rho_1 - \rho_2)$.
Отсюда выражаем искомую глубину погружения в воду:
$h_1 = \frac{a \cdot (\rho - \rho_2)}{\rho_1 - \rho_2}$.

Вычисления:
$h_1 = \frac{0,2 \text{ м} \cdot (850 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} - 800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3})}{1000 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} - 800 \frac{\text{кг}}{\text{м}^3}} = \frac{0,2 \cdot 50}{200} = \frac{10}{200} = 0,05 \text{ м}$.
Переведем в сантиметры: $0,05 \text{ м} = 5 \text{ см}$.

Ответ: 5 см

Источник: ФИПИ