Задание №21 — МЕХАНИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Дано:
$P_1 = 7,2 \text{ Н}$ — вес цилиндра в воде;
$P_2 = 7,4 \text{ Н}$ — вес цилиндра в спирте;
$\rho_1 = 1000 \text{ кг/м}^3$ — плотность воды;
$\rho_2 = 800 \text{ кг/м}^3$ — плотность спирта;
$g = 10 \text{ Н/кг}$ — ускорение свободного падения.
Найти:
$\rho_c$ — ?

Анализ и формулы:
1. На тело, погруженное в жидкость, действуют две силы: сила тяжести $F_T = mg$, направленная вниз, и выталкивающая сила (сила Архимеда) $F_A$, направленная вверх. Показание динамометра в жидкости (вес тела в жидкости $P$) равно разности этих сил:
$P = F_T - F_A$.
2. Сила тяжести выражается через плотность цилиндра $\rho_c$ и его объем $V$:
$F_T = \rho_c \cdot V \cdot g$.
3. Сила Архимеда для полностью погруженного тела равна:
$F_A = \rho_{ж} \cdot V \cdot g$, где $\rho_{ж}$ — плотность жидкости.

Запишем уравнения для двух случаев:
1) Для воды: $P_1 = \rho_c V g - \rho_1 V g = V g (\rho_c - \rho_1)$.
2) Для спирта: $P_2 = \rho_c V g - \rho_2 V g = V g (\rho_c - \rho_2)$.

Вывод рабочей формулы:
Разделим второе уравнение на первое, чтобы избавиться от неизвестного объема $V$ и константы $g$:
$\frac{P_2}{P_1} = \frac{V g (\rho_c - \rho_2)}{V g (\rho_c - \rho_1)} = \frac{\rho_c - \rho_2}{\rho_c - \rho_1}$.
Раскроем пропорцию:
$P_2 (\rho_c - \rho_1) = P_1 (\rho_c - \rho_2)$;
$P_2 \rho_c - P_2 \rho_1 = P_1 \rho_c - P_1 \rho_2$;
Перенесем слагаемые с $\rho_c$ в левую часть, а остальные в правую:
$P_2 \rho_c - P_1 \rho_c = P_2 \rho_1 - P_1 \rho_2$;
$\rho_c (P_2 - P_1) = P_2 \rho_1 - P_1 \rho_2$;
$\rho_c = \frac{P_2 \rho_1 - P_1 \rho_2}{P_2 - P_1}$.

Вычисления:
$\rho_c = \frac{7,4 \text{ Н} \cdot 1000 \text{ кг/м}^3 - 7,2 \text{ Н} \cdot 800 \text{ кг/м}^3}{7,4 \text{ Н} - 7,2 \text{ Н}}$;
$\rho_c = \frac{7400 - 5760}{0,2} = \frac{1640}{0,2} = 8200 \text{ кг/м}^3$.

Проверка размерности:
$[\rho_c] = \frac{\text{Н} \cdot \text{кг/м}^3}{\text{Н}} = \text{кг/м}^3$.

Ответ: 8200 кг/м³

Источник: ФИПИ