Задание №22 — МЕХАНИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Для решения задачи воспользуемся законом сохранения энергии. Перед ударом гиря обладает кинетической энергией. В момент удара эта энергия переходит во внутреннюю энергию гири, что приводит к её нагреванию.

Дано:
$t_{1} = 30 \text{ }^{\circ}\text{C}$
$t_{2} = 100 \text{ }^{\circ}\text{C}$
$c = 140 \text{ Дж}/(\text{кг} \cdot \text{ }^{\circ}\text{C})$
$\eta = 100\% = 1$ (по условию всё количество теплоты поглощается гирей)
--------------------
$v - ?$

Анализ и физические законы:
1. Кинетическая энергия гири перед ударом вычисляется по формуле:
$E_{k} = \frac{m \cdot v^{2}}{2}$, где $m$ — масса гири, $v$ — её скорость.
2. Количество теплоты, необходимое для нагревания гири, определяется формуле:
$Q = c \cdot m \cdot (t_{2} - t_{1})$, где $c$ — удельная теплоёмкость вещества.
3. Согласно условию задачи, вся кинетическая энергия перешла в теплоту:
$E_{k} = Q$

Вывод рабочей формулы:
Приравняем выражения для энергии:
$\frac{m \cdot v^{2}}{2} = c \cdot m \cdot (t_{2} - t_{1})$
Заметим, что масса $m$ присутствует в обеих частях уравнения, поэтому мы можем на неё сократить:
$\frac{v^{2}}{2} = c \cdot (t_{2} - t_{1})$
Отсюда выразим квадрат скорости:
$v^{2} = 2 \cdot c \cdot (t_{2} - t_{1})$
Следовательно, искомая скорость равна:
$v = \sqrt{2 \cdot c \cdot (t_{2} - t_{1})}$

Расчёт:
Подставим числовые значения из условия:
$v = \sqrt{2 \cdot 140 \text{ Дж}/(\text{кг} \cdot \text{ }^{\circ}\text{C}) \cdot (100 \text{ }^{\circ}\text{C} - 30 \text{ }^{\circ}\text{C})}$
$v = \sqrt{280 \cdot 70} = \sqrt{19600} = 140 \text{ м/с}$

Проверка размерности:
$[v] = \sqrt{\frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{ }^{\circ}\text{C}} \cdot \text{ }^{\circ}\text{C}} = \sqrt{\frac{\text{кг} \cdot \text{м}^{2}/\text{с}^{2}}{\text{кг}}} = \sqrt{\text{м}^{2}/\text{с}^{2}} = \text{м/с}$

Ответ: $v = 140 \text{ м/с}$

Источник: ФИПИ