Задание №22 — ТЕПЛОВЫЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Дано:
$P_1 = P_2 = P = 600$ Вт
$V = 2$ л $= 2 \cdot 10^{-3}$ м³
$t = 7$ мин $= 420$ с
$\rho = 1000$ кг/м³ (плотность воды)
$c = 4200$ Дж/(кг $\cdot$ °C) (удельная теплоемкость воды)
Нагреватели соединены последовательно.
Найти: $\Delta T$ — ?

Анализ и формулы:
1. При последовательном соединении двух одинаковых нагревателей их общее сопротивление $R_{общ}$ равно сумме сопротивлений каждого нагревателя: $R_{общ} = R + R = 2R$.
2. Мощность одного нагревателя при номинальном напряжении $U$ выражается формулой: $P = \frac{U^2}{R}$. Отсюда сопротивление одного нагревателя: $R = \frac{U^2}{P}$.
3. Общая мощность системы из двух последовательно соединенных нагревателей при том же напряжении $U$:
$P_{общ} = \frac{U^2}{R_{общ}} = \frac{U^2}{2R}$.
Подставим выражение для $R$: $P_{общ} = \frac{U^2}{2 \cdot \frac{U^2}{P}} = \frac{P}{2}$.
Таким образом, общая мощность цепи в 2 раза меньше мощности одного нагревателя: $P_{общ} = \frac{600 \text{ Вт}}{2} = 300$ Вт.
4. Количество теплоты $Q_{пол}$, необходимое для нагрева воды: $Q_{пол} = c \cdot m \cdot \Delta T$.
Массу воды найдем через плотность и объем: $m = \rho \cdot V$.
5. Работа электрического тока $A$, совершаемая нагревателями за время $t$: $A = P_{общ} \cdot t$.
6. По условию потери энергии отсутствуют, значит, вся работа тока идет на нагрев воды: $A = Q_{пол}$.
$P_{общ} \cdot t = c \cdot \rho \cdot V \cdot \Delta T$.

Вывод рабочей формулы:
$\Delta T = \frac{P_{общ} \cdot t}{c \cdot \rho \cdot V} = \frac{P \cdot t}{2 \cdot c \cdot \rho \cdot V}$.

Вычисления:
$\Delta T = \frac{600 \text{ Вт} \cdot 420 \text{ с}}{2 \cdot 4200 \text{ Дж/(кг} \cdot \text{°C)} \cdot 1000 \text{ кг/м}^3 \cdot 2 \cdot 10^{-3} \text{ м}^3}$
$\Delta T = \frac{252000}{2 \cdot 4200 \cdot 2} = \frac{252000}{16800} = 15$ °C.

Проверка размерности:
$[\Delta T] = \frac{\text{Вт} \cdot \text{с}}{\frac{\text{Дж}}{\text{кг} \cdot \text{°C}} \cdot \frac{\text{кг}}{\text{м}^3} \cdot \text{м}^3} = \frac{\text{Дж}}{\frac{\text{Дж}}{\text{°C}}} = \text{°C}$.

Ответ: 15 °C.

Источник: ФИПИ