Задание №22 — МЕХАНИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Дано:
$v = \text{const}$ (движение равномерное)
$h = 6 \text{ м}$
$Q = 18,63 \text{ мДж} = 18,63 \cdot 10^{-3} \text{ Дж}$
$\rho_{св} = 11300 \text{ кг/м}^3$ (плотность свинца)
$\rho_{в} = 1000 \text{ кг/м}^3$ (плотность воды)
$g = 10 \text{ м/с}^2$
--------------------
$V - ?$

Анализ и физические законы:
1. При равномерном движении шарика вниз (свинец плотнее воды) сумма всех сил, действующих на него, равна нулю по первому закону Ньютона. На шарик действуют: сила тяжести $F_{т}$, направленная вниз, выталкивающая сила (сила Архимеда) $F_{А}$, направленная вверх, и сила сопротивления воды $F_{сопр}$, направленная против движения (вверх).
2. Условие равновесия сил в проекции на вертикальную ось: $F_{т} = F_{А} + F_{сопр}$.
3. Выделившаяся энергия $Q$ равна работе силы сопротивления воды $A_{сопр}$, так как при равномерном движении вся работа внешних сил переходит во внутреннюю энергию (теплоту): $Q = A_{сопр} = F_{сопр} \cdot h$.
4. Выразим силу сопротивления: $F_{сопр} = F_{т} - F_{А}$.
5. Распишем силы через объем шарика $V$:
Сила тяжести: $F_{т} = m \cdot g = \rho_{св} \cdot V \cdot g$.
Сила Архимеда: $F_{А} = \rho_{в} \cdot V \cdot g$.
Тогда $F_{сопр} = \rho_{св} \cdot V \cdot g - \rho_{в} \cdot V \cdot g = V \cdot g \cdot (\rho_{св} - \rho_{в})$.

Вывод рабочей формулы:
Подставим выражение для силы сопротивления в формулу работы:
$Q = V \cdot g \cdot (\rho_{св} - \rho_{в}) \cdot h$.
Отсюда выразим искомый объём шарика:
$V = \frac{Q}{g \cdot h \cdot (\rho_{св} - \rho_{в})}$.

Вычисления:
Подставим числовые значения в СИ:
$V = \frac{18,63 \cdot 10^{-3} \text{ Дж}}{10 \text{ м/с}^2 \cdot 6 \text{ м} \cdot (11300 \text{ кг/м}^3 - 1000 \text{ кг/м}^3)}$
$V = \frac{18,63 \cdot 10^{-3}}{60 \cdot 10300} \text{ м}^3$
$V = \frac{18,63 \cdot 10^{-3}}{618000} \text{ м}^3$
$V = \frac{18,63 \cdot 10^{-3}}{6,18 \cdot 10^5} \text{ м}^3 \approx 3,0145 \cdot 10^{-8} \text{ м}^3$
Округлим результат: $V \approx 3 \cdot 10^{-8} \text{ м}^3$.
Переведем в более удобные единицы ($1 \text{ мм}^3 = 10^{-9} \text{ м}^3$):
$V = 30 \text{ мм}^3$.

Ответ: $V = 30 \text{ мм}^3$ (или $3 \cdot 10^{-8} \text{ м}^3$).

Источник: ФИПИ