Задание №21 — МЕХАНИЧЕСКИЕ ЯВЛЕНИЯ

Решение.

Проанализируем физические процессы, описанные в задаче. Соударение, при котором тела после взаимодействия движутся как одно целое, называется абсолютно неупругим ударом. В такой системе выполняется закон сохранения импульса, но часть механической энергии переходит во внутреннюю (тепловую).

Дано:
$m_{1} = 5$ кг
$v_{2} = 0$ м/с (второй шар неподвижен)
$\Delta E = 0,5 E_{k1}$ (потеряно 50% начальной энергии)
________________
$m_{2} - ?$

Математическая модель и решение:

1. Запишем закон сохранения импульса для системы из двух шаров в проекции на направление движения первого шара:
$m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2} = (m_{1} + m_{2})u$,
где $v_{1}$ — начальная скорость первого шара, $u$ — скорость шаров после удара.
Так как $v_{2} = 0$, формула принимает вид:
$m_{1}v_{1} = (m_{1} + m_{2})u$
Отсюда выразим скорость шаров после удара:
$u = \frac{m_{1}v_{1}}{m_{1} + m_{2}}$ (1)

2. Запишем выражение для кинетической энергии системы до и после удара:
Начальная энергия: $E_{k1} = \frac{m_{1}v_{1}^{2}}{2}$
Конечная энергия: $E_{k2} = \frac{(m_{1} + m_{2})u^{2}}{2}$

3. По условию задачи потеряно 50% энергии, значит, оставшаяся кинетическая энергия составляет 50% от начальной:
$E_{k2} = 0,5 E_{k1}$
Подставим выражения для энергий:
$\frac{(m_{1} + m_{2})u^{2}}{2} = 0,5 \cdot \frac{m_{1}v_{1}^{2}}{2}$
Сократим на 2 и подставим выражение для $u$ из формулы (1):
$(m_{1} + m_{2}) \cdot \left( \frac{m_{1}v_{1}}{m_{1} + m_{2}} \right)^{2} = 0,5 m_{1}v_{1}^{2}$
$(m_{1} + m_{2}) \cdot \frac{m_{1}^{2}v_{1}^{2}}{(m_{1} + m_{2})^{2}} = 0,5 m_{1}v_{1}^{2}$

4. Упростим уравнение, сократив на $m_{1}v_{1}^{2}$ и на одну скобку $(m_{1} + m_{2})$:
$\frac{m_{1}}{m_{1} + m_{2}} = 0,5$
Перейдем к пропорции:
$m_{1} = 0,5(m_{1} + m_{2})$
$m_{1} = 0,5m_{1} + 0,5m_{2}$
$0,5m_{1} = 0,5m_{2}$
$m_{1} = m_{2}$

5. Вычислим значение:
$m_{2} = 5$ кг.

Ответ: 5 кг

Источник: ФИПИ