Разбор задачи:
Согласно условию и чертежу, угол $\angle ACB$ совпадает с углом $\angle OCB$, следовательно, $\angle OCB = 53^{\circ}$.
Рассмотрим треугольник $\triangle OBC$. Отрезки $OC$ и $OB$ являются радиусами данной окружности, поэтому они равны. Значит, $\triangle OBC$ — равнобедренный с основанием $BC$.
Углы при основании равнобедренного треугольника равны, откуда $\angle OBC = \angle OCB = 53^{\circ}$.
Воспользуемся теоремой о сумме углов треугольника, чтобы найти угол при вершине $O$:
$\angle BOC = 180^{\circ} - (\angle OCB + \angle OBC) = 180^{\circ} - (53^{\circ} + 53^{\circ}) = 180^{\circ} - 106^{\circ} = 74^{\circ}$.
Заметим, что углы $\angle BOC$ и $\angle AOD$ являются вертикальными, а значит, они равны между собой:
$\angle AOD = \angle BOC = 74^{\circ}$.

Ответ: 74

Источник: ФИПИ