Решение:
Проанализируем треугольник $ABC$. По условию $BM$ является медианой, поэтому точка $M$ делит сторону $AC$ пополам:
$AM = MC = \frac{AC}{2} = \frac{34}{2} = 17.$
Далее заметим, что в треугольнике $MBC$ стороны $BM$ и $BC$ равны, то есть он является равнобедренным. В таком треугольнике высота $BH$, проведённая к основанию, одновременно служит и медианой.
Следовательно, точка $H$ делит отрезок $MC$ на две равные части:
$MH = HC = \frac{MC}{2} = \frac{17}{2} = 8{,}5.$
Чтобы вычислить длину искомого отрезка $AH$, сложим длины отрезков $AM$ и $MH$:
$AH = AM + MH = 17 + 8{,}5 = 25{,}5.$

Ответ: 25,5

Источник: ФИПИ