Задание №12 — Треугольники

Решение:
Проанализируем треугольник $ABC$. По условию $BM$ является медианой, поэтому точка $M$ делит сторону $AC$ на две равные части: $AM = MC$.
Вычислим длину этих отрезков: $AM = MC = \frac{AC}{2} = \frac{26}{2} = 13$.
Заметим, что $BM = BC$. Это означает, что треугольник $MBC$ является равнобедренным с основанием $MC$. В таком треугольнике высота $BH$, проведённая к основанию, одновременно служит и медианой.
Следовательно, точка $H$ делит отрезок $MC$ пополам: $MH = HC$.
Найдём длину $MH$, зная, что $MC = 13$: $MH = \frac{MC}{2} = \frac{13}{2} = 6{,}5$.
Искомый отрезок $AH$ состоит из суммы двух отрезков: $AM$ и $MH$.
$AH = AM + MH = 13 + 6{,}5 = 19,5$.

Ответ: 19,5

Источник: ФИПИ