Задание №12 — Четырехугольники

Решение:

Рассмотрим параллелограмм $ABCD$. Поскольку $AD \parallel BC$, при пересечении их секущей $AM$ образуются равные накрест лежащие углы: $\angle DAM = \angle AMB$. Также углы $\angle AKD$ и $\angle BKM$ равны как вертикальные.
Из этого следует, что треугольники $BKM$ и $AKD$ подобны по двум углам.

Запишем отношение соответственных сторон в подобных треугольниках:
$$\frac{BM}{AD} = \frac{BK}{KD}$$

Так как $M$ — середина стороны $BC$, то $BC = 2 \cdot BM$. Учитывая, что в параллелограмме противоположные стороны равны ($AD = BC$), получаем $AD = 2 \cdot BM$.
Пусть искомый отрезок $BK$ равен $x$. Тогда, так как вся диагональ $BD = 21$, отрезок $KD$ будет равен $21 - x$.

Подставим эти значения в пропорцию:
$$\frac{BM}{2 \cdot BM} = \frac{x}{21 - x}$$ $$\frac{1}{2} = \frac{x}{21 - x}$$

Решим полученное уравнение, используя основное свойство пропорции:
$2x = 21 - x$
$3x = 21$
$x = 7$

Таким образом, длина отрезка $BK$ составляет 7.

Ответ: 7

Источник: ФИПИ