Задание №19 — Свойства чисел

Решение:

Обозначим искомое пятизначное число как $abcde$. Согласно условию, сумма его цифр должна быть равна их произведению: $a + b + c + d + e = a \cdot b \cdot c \cdot d \cdot e$. Дополнительное ограничение — число является чётным, то есть последняя цифра $e$ может принимать значения 0, 2, 4, 6 или 8.

Проанализируем возможный состав цифр. Если в числе будет слишком много единиц (например, четыре), то сумма окажется больше произведения. Если же единиц будет мало, произведение начнёт резко возрастать и значительно превысит сумму. Оптимально рассмотреть варианты с двумя или тремя единицами.
Стоит учесть, что если мы найдём комбинацию цифр, удовлетворяющую условию, то любое чётное число, составленное из этих же цифр, также будет являться решением. Проверим варианты в зависимости от последней цифры:

— Если число оканчивается на 0, то произведение всех цифр станет равным 0, что невозможно для суммы положительных цифр (а если все цифры 0, число не будет пятизначным).
— Рассмотрим вариант с цифрой 2 на конце. Удачными комбинациями цифр являются {1, 1, 1, 5, 2} (сумма $1+1+1+5+2=10$, произведение $1\cdot1\cdot1\cdot5\cdot2=10$) и {1, 1, 2, 2, 2} (сумма $1+1+2+2+2=8$, произведение $1\cdot1\cdot2\cdot2\cdot2=8$).
Из набора {1, 1, 1, 5, 2} можно составить следующие чётные числа: 11152, 11512, 15112, 51112.
Из набора {1, 1, 2, 2, 2} получаются такие варианты: 11222, 12122, 21122, 12212, 21212, 22112.
— При проверке окончаний на 4, 6 и 8 подходящих комбинаций цифр, удовлетворяющих равенству суммы и произведения, не обнаруживается.

Ответ: 11152 / 11512 / 15112 / 51112 / 11222 / 12122 / 21122 / 12212 / 21212 / 22112

Источник: ФИПИ