Задание №12 — Четырехугольники

Решение:

Рассмотрим прямоугольный треугольник $ABE$. Так как сумма всех углов в треугольнике составляет $180^{\circ}$, мы можем вычислить величину угла $BEA$: $$180^{\circ} - 90^{\circ} - 45^{\circ} = 45^{\circ}.$$ Поскольку углы при основании $AE$ равны (оба по $45^{\circ}$), треугольник $ABE$ является равнобедренным. Отсюда следует, что катеты равны: $AB = BE = 24$.

Теперь определим длину отрезка $CE$. Для этого из длины основания $BC$ вычтем длину найденного отрезка $BE$: $$CE = 31 - 24 = 7.$$ Заметим, что в прямоугольнике (или прямоугольной трапеции) противоположные стороны равны, значит, $CD = AB = 24$. Воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника $CED$, чтобы найти гипотенузу $ED$: $$ED = \sqrt{CE^{2} + CD^{2}} = \sqrt{7^{2} + 24^{2}} = \sqrt{49 + 576} = \sqrt{625} = 25.$$

Ответ: 25

Источник: ФИПИ