Задание №19 — Свойства чисел

Решение:
Разложим число 36 на простые множители: $36 = 2^2 \cdot 3^2 = 4 \cdot 9$. Чтобы искомое шестизначное число делилось на 36, оно должно одновременно удовлетворять признакам делимости на 4 и на 9.
1) Согласно признаку делимости на 4, число, составленное из двух последних цифр, должно делиться на 4. Поскольку в записи используются только единицы и двойки, единственным возможным окончанием будет 12 (так как 11, 21 и 22 на 4 не делятся).
2) Согласно признаку делимости на 9, сумма всех цифр числа должна быть кратна 9. Посчитаем, сколько единиц и двоек нам понадобится для получения такой суммы: три единицы и три двойки в сумме дают $1+1+1+2+2+2 = 9$, что подходит под условие.
Следовательно, нам нужно составить число из трех единиц и трех двоек, которое заканчивается на 12. Возможные варианты: 121212, 221112, 112212, 212112, 122112, 211212.
Убедимся в правильности подбора, выполнив деление:
$121212 : 36 = 3367$;
$221112 : 36 = 6142$;
$112212 : 36 = 3117$;
$212112 : 36 = 5892$.
Все эти числа удовлетворяют условию задачи.

Ответ: 121212 / 221112 / 112212 / 212112 / 122112 / 211212

Источник: ФИПИ