Задание №19 — Свойства чисел

Решение:
Разложим число 60 на простые множители: $60 = 2^2 \cdot 3 \cdot 5$. Чтобы искомое пятизначное число делилось на 60, оно должно одновременно удовлетворять признакам делимости на 3, 4 и 5 (так как $60 = 3 \cdot 4 \cdot 5$).

Поскольку число пятизначное и состоит только из двоек и нулей, оно не может начинаться с нуля — первой цифрой обязательно будет 2. Для делимости на 5 число должно оканчиваться на 0. Согласно признаку делимости на 3, сумма всех цифр числа должна делиться на 3 без остатка. Так как в записи используются только 0 и 2, единственный подходящий вариант для пятизначного числа — это использовать три двойки и два нуля, тогда их сумма составит $2 + 2 + 2 + 0 + 0 = 6$, что кратно 3.

Сформируем возможные варианты, учитывая, что число должно делиться на 4 (две последние цифры образуют число, кратное 4, в нашем случае это 00 или 20):
1) 22200: $22200 : 60 = 370$;
2) 20220: $20220 : 60 = 337$;
3) 22020: $22020 : 60 = 367$.

Все эти числа удовлетворяют условию задачи.

Ответ: 22200 / 20220 / 22020

Источник: ФИПИ