Вариант 6 · Май 2026

В ромбе ABCD угол ABC равен 150°. Найдите угол ACD. Ответ дайте в градусах.

Даны векторы $\overset{\rightarrow}{a} \left\{\right. 14 ; - 2 \left.\right\}$ и $\overset{\rightarrow}{b} \left\{\right. 5 ; - 8 \left.\right\} .$ Найдите скалярное произведение $\overset{\rightarrow}{a} \cdot \overset{\rightarrow}{b} .$

Одна цилиндрическая кружка вдвое выше второй, зато вторая в полтора раза шире. Найдите отношение объёма второй кружки к объёму первой.

На чемпионате по прыжкам в воду выступают 25 спортсменов, среди них 4 прыгуна из Италии и 6 прыгунов из Мексики. Порядок выступлений определяется жеребьёвкой. Найдите вероятность того, что двадцать четвёртым будет выступать прыгун из Италии.

В торговом центре два одинаковых автомата продают кофе. Вероятность того, что к концу дня в автомате закончится кофе, равна  0,3. Вероятность того, что кофе закончится в обоих автоматах, равна  0,12. Найдите вероятность того, что к концу дня кофе останется в обоих автоматах.

Найдите корень уравнения $3^{x - 5} = 81 .$

Найдите значение выражения $\frac{\sqrt[3]{400} \sqrt[3]{25}}{\sqrt[3]{80}} .$

На рисунке изображён график $y = f ' ( x )$ - производной функции $f ( x ) ,$ определённой на интервале $( - 12 ; 11 ) .$ Найдите количество точек максимума функции $f ( x ) ,$ принадлежащих отрезку $[ - 11 ; 5 \left]\right. .$

Наблюдатель находится на высоте $h ,$ выраженной в метрах. Расстояние от наблюдателя до наблюдаемой им линии горизонта, выраженное в километрах, вычисляется по формуле $l = \sqrt{\frac{Rh}{500}} ,$ где $R = 6400$ км - радиус Земли. На какой высоте находится наблюдатель, если он видит линию горизонта на расстоянии 25,6 километра? Ответ дайте в метрах.

На рисунке изображены графики функции видов $f \left(x\right) = \frac{k}{x}$ и $g \left(x\right) = ax + b ,$ пересекающиеся в точках $A$ и $B .$ Найдите абсциссу точки $B .$

Найдите наименьшее значение функции $у = 3 x - \ln \left(x + 10\right)^{3}$ на промежутке $\left[- 9{,}5 ; 0\right] .$

а) Решите уравнение $\log _{2} \left(x^{2} - 2 x\right) = 3 .$
б) Найдите все корни этого уравнения, принадлежащие отрезку $\left[\log _{2} 0{,}1 ; \log _{2} 13\right] .$

Дана правильная призма $ABCDA_{1} B_{1} C_{1} D_{1} .$ На рёбрах $\text{CD},\textrm{ }\text{CC}_{1}$ и $A_{1} B_{1}$ отметили точки $K , L$ и $M$ соответственно. Известно, что $A_{1} M = MB_{1} , DK = 3 KC ,$ а четырёхугольник $AKLM$  - равнобедренная трапеция.
а)  Докажите, что $CL = LC_{1} .$
б)  Найдите объём призмы $ABCDA_{1} B_{1} C_{1} D_{1} ,$ если $AA_{1} = 5 .$

Решите неравенство: $2 \log _{3} ( \sqrt{6} x ) - \log _{3} \left(\frac{6 x}{1 - x}\right) \leq \log _{3} \left(2 x^{2} + \frac{7}{x} - 21\right) .$ 

Пенсионный фонд владеет ценными бумагами, которые стоят $t^{2}$ тыс. рублей в конце года $t$ ($t = 1 ; 2 ; . . .$). В конце любого года пенсионный фонд может продать ценные бумаги и положить деньги на счет в банке, при этом в конце каждого следующего года сумма на счете будет увеличиваться на 25 %.
В конце какого года пенсионному фонду следует продать ценные бумаги, чтобы в конце двадцатого года сумма на его счете была наибольшей?

В прямоугольном треугольнике $ABC$ точки $M$ и $N$ - середины гипотенузы $AC$ и катета $BC$ соответственно. Точка $K$ лежит на катете $BC$ так, что $BK : KC = 1 : 3 .$
а) Докажите, что $AN = 2 KM .$
б) Пусть $P$ - точка пересечения отрезков $AN$ и $KM .$ Найдите длину отрезка $BP ,$ если $AB = 10 , BC = 16 .$

Найдите все значения а, при каждом из которых система уравнений$\left\{\begin{matrix} ( x + ау - 5 ) ( x + ау - 5 a ) = 0 \\ x^{2} + у^{2} = 16 \end{matrix}\right.$
имеет ровно четыре различных решения.

На доске написано 20 натуральных чисел (необязательно различных), каждое из которых больше 10, но не превосходит 50. Вместо некоторых чисел (возможно одного) на доске написали числа меньшие
первоначальных на единицу. Числа, которые после этого оказались равными 10, с доски стёрли, но на доске осталось хотя бы одно число.
а)  Могло ли оказаться так, что среднее арифметическое чисел увеличилось?
б)  Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 37. Могло ли среднее арифметическое оставшихся на доске чисел оказаться равным 44?
в)  Среднее арифметическое первоначально написанных чисел равнялось 37. Найдите наибольшее возможное значение среднего арифметического чисел, которые остались на доске.