Задание №25 — ЭДС. Закон Ома для замкнутой цепи

Решение:

Обозначения. $\varepsilon = 12$ В — ЭДС батареи (внутреннее сопротивление пренебрежимо мало, поэтому напряжение между точками $A$ и $B$ равно $\varepsilon$); $R_1$ и $R_2$ — искомые сопротивления резисторов (оба резистора с обозначением $R_2$ одинаковы); $P_1 = 6$ Вт — мощность при подключении «$+$» к $A$; $P_2 = 7{,}2$ Вт — мощность при обратной полярности; $D_1$ — диод, включённый последовательно с $R_1$ (пропускает ток от $A$ к узлу $C$); $D_2$ — диод, пропускающий ток от узла $C$ к $A$; $C$ — узел, к которому подключён верхний вывод правого резистора $R_2$; $R_{(1)}, R_{(2)}$ — полные сопротивления цепи в первом и во втором случае.

Модель диода. В прямом направлении сопротивление диода пренебрежимо мало — открытый диод считаем идеальным проводником. В обратном направлении сопротивление диода многократно превышает сопротивление резисторов — закрытый диод считаем разрывом цепи.

Разбор схемы. Между $A$ и $B$ включены параллельно две ветви:

• левая — один резистор $R_2$, соединяющий $A$ и $B$ напрямую; он проводит ток при любой полярности;
• правая — параллельная пара «$R_1$ последовательно с $D_1$» и «$D_2$» между $A$ и узлом $C$, а затем правый резистор $R_2$ от узла $C$ к $B$.

1. Первое подключение: «$+$» к $A$, «$-$» к $B$. Ток во внешней цепи течёт от $A$ к $B$. Диод $D_1$ включён в прямом направлении и открыт, диод $D_2$ — в обратном и закрыт.

Токи идут по двум путям: $A \to R_2\,(\text{левый}) \to B$ и $A \to R_1 \to D_1 \to C \to R_2\,(\text{правый}) \to B$. Через диод $D_2$ тока нет.

Правая ветвь имеет сопротивление $R_1 + R_2$, она соединена параллельно с левой ветвью сопротивлением $R_2$:

$$R_{(1)} = \frac{R_2\left(R_1 + R_2\right)}{R_2 + R_1 + R_2} = \frac{R_2\left(R_1 + R_2\right)}{R_1 + 2R_2}.$$

По закону Джоуля — Ленца

$$P_1 = \frac{\varepsilon^2}{R_{(1)}} \;\Rightarrow\; R_{(1)} = \frac{\varepsilon^2}{P_1} = \frac{12^2}{6} = 24\ \text{Ом}.$$

2. Второе подключение: «$+$» к $B$, «$-$» к $A$. Ток течёт от $B$ к $A$. Теперь открыт диод $D_2$, а диод $D_1$ закрыт, поэтому резистор $R_1$ оказывается отключённым (через него тока нет), а открытый диод $D_2$ соединяет узел $C$ с точкой $A$ накоротко.

Токи идут по двум путям: $B \to R_2\,(\text{левый}) \to A$ и $B \to R_2\,(\text{правый}) \to C \to D_2 \to A$. Оба резистора $R_2$ оказываются соединёнными параллельно:

$$R_{(2)} = \frac{R_2}{2}.$$

$$P_2 = \frac{\varepsilon^2}{R_{(2)}} = \frac{2\varepsilon^2}{R_2} \;\Rightarrow\; R_2 = \frac{2\varepsilon^2}{P_2} = \frac{2\cdot 144}{7{,}2} = 40\ \text{Ом}.$$

3. Находим $R_1$. Подставим $R_2 = 40$ Ом в уравнение первого случая:

$\dfrac{40\left(R_1 + 40\right)}{R_1 + 80} = 24$,

$40R_1 + 1600 = 24R_1 + 1920$,

$16R_1 = 320 \;\Rightarrow\; R_1 = 20$ Ом.

Проверка. $R_{(1)} = \dfrac{40\cdot 60}{100} = 24$ Ом, $P_1 = \dfrac{144}{24} = 6$ Вт; $R_{(2)} = 20$ Ом, $P_2 = \dfrac{144}{20} = 7{,}2$ Вт — оба значения совпадают с условием.

Ответ: при подключении «$+$» к $A$ открыт верхний диод $D_1$: ток идёт через левый резистор $R_2$ и, параллельно, по цепочке $R_1 \to D_1 \to$ правый $R_2$; нижний диод закрыт. При обратной полярности открыт нижний диод $D_2$: ток идёт через левый резистор $R_2$ и, параллельно, через правый $R_2$ и диод $D_2$, а через $R_1$ тока нет. $R_1 = 20$ Ом, $R_2 = 40$ Ом.