Задание №25 — ЭДС. Закон Ома для замкнутой цепи

Решение:

Обозначения. $\varepsilon = 12$ В — ЭДС батареи (внутреннее сопротивление пренебрежимо мало, поэтому напряжение между точками $A$ и $B$ равно $\varepsilon$); $R_1, R_2$ — искомые сопротивления резисторов; $P_1 = 4{,}8$ Вт — мощность при подключении «$+$» к $A$; $P_2 = 7{,}2$ Вт — мощность при обратной полярности; $D_1$ — диод, включённый последовательно с $R_1$ (пропускает ток от $A$ к общему узлу $C$); $D_2$ — диод нижней ветви (пропускает ток от узла $C$ к $A$); $C$ — узел, к которому подключён верхний вывод резистора $R_2$.

Модель диода. В прямом направлении сопротивление диода пренебрежимо мало — открытый диод считаем идеальным проводником. В обратном направлении сопротивление диода многократно превышает сопротивление резисторов — закрытый диод считаем разрывом цепи (ток через него не идёт).

Разбор схемы. Между точкой $A$ и узлом $C$ включены параллельно две ветви: верхняя — резистор $R_1$ последовательно с диодом $D_1$ (стрелка направлена от $A$ к $C$); нижняя — один диод $D_2$ (стрелка направлена от $C$ к $A$). От узла $C$ к точке $B$ включён резистор $R_2$.

1. Первое подключение: «$+$» к $A$, «$-$» к $B$. Ток во внешней цепи течёт от $A$ к $B$. Для диода $D_1$ это прямое направление — он открыт; для диода $D_2$ это обратное направление — он закрыт, и нижняя ветвь тока не проводит.

Путь тока: $A \to R_1 \to D_1 \to C \to R_2 \to B$. Ток идёт через оба резистора, соединённых последовательно, через диод $D_1$ — в прямом направлении, через диод $D_2$ тока нет.

Сопротивление цепи $R_{(1)} = R_1 + R_2$, и по закону Джоуля — Ленца

$$P_1 = \frac{\varepsilon^2}{R_1 + R_2} \;\Rightarrow\; R_1 + R_2 = \frac{\varepsilon^2}{P_1} = \frac{12^2}{4{,}8} = 30\ \text{Ом}.$$

2. Второе подключение: «$+$» к $B$, «$-$» к $A$. Ток во внешней цепи течёт от $B$ к $A$. Теперь для диода $D_2$ это прямое направление — он открыт и шунтирует верхнюю ветвь; для диода $D_1$ направление обратное — он закрыт, и ток через резистор $R_1$ не идёт.

Путь тока: $B \to R_2 \to C \to D_2 \to A$. Ток идёт только через резистор $R_2$ и через открытый диод $D_2$; через $R_1$ и $D_1$ тока нет.

Сопротивление цепи $R_{(2)} = R_2$, и

$$P_2 = \frac{\varepsilon^2}{R_2} \;\Rightarrow\; R_2 = \frac{\varepsilon^2}{P_2} = \frac{12^2}{7{,}2} = 20\ \text{Ом}.$$

3. Находим $R_1$.

$R_1 = \left(R_1 + R_2\right) - R_2 = 30 - 20 = 10$ Ом.

Проверка. При первом подключении $P_1 = \dfrac{144}{10 + 20} = 4{,}8$ Вт; при втором $P_2 = \dfrac{144}{20} = 7{,}2$ Вт — совпадает с условием. Мощность во втором случае больше, что и должно быть: закорачивание резистора $R_1$ уменьшает сопротивление цепи.

Ответ: при подключении «$+$» к $A$ ток идёт по пути $A \to R_1 \to D_1 \to R_2 \to B$ (верхний диод открыт, нижний закрыт); при обратной полярности — по пути $B \to R_2 \to D_2 \to A$ (нижний диод открыт, верхний закрыт, через $R_1$ тока нет). $R_1 = 10$ Ом, $R_2 = 20$ Ом.