Задание №25 — Сила Лоренца. Правило левой руки

Решение:

Обозначения. $q = 3{,}2\cdot 10^{-19}$ Кл — заряд иона; $m = 1{,}5\cdot 10^{-25}$ кг — его масса; $U = 10^{3}$ В — ускоряющая разность потенциалов; $R = 0{,}3$ м — радиус окружности, по которой ион движется в магнитном поле; $v$ — модуль скорости иона после ускорения; $B$ — искомый модуль индукции магнитного поля.

1. Разгон в электрическом поле. Установка находится в вакууме, силой тяжести пренебрегаем, начальной скоростью — тоже. На участке ускорения работу совершает только электростатическая сила, поэтому по теореме о кинетической энергии

$$A = qU = \frac{m v^2}{2} - 0 \;\Rightarrow\; v = \sqrt{\frac{2qU}{m}}.$$

$v = \sqrt{\dfrac{2\cdot 3{,}2\cdot 10^{-19}\cdot 10^{3}}{1{,}5\cdot 10^{-25}}} = \sqrt{\dfrac{6{,}4\cdot 10^{-16}}{1{,}5\cdot 10^{-25}}} = \sqrt{4{,}27\cdot 10^{9}} \approx 6{,}5\cdot 10^{4}$ м/с.

Скорость много меньше скорости света $\left(v \ll c\right)$, поэтому классическая механика применима.

2. Движение в магнитном поле. Ион движется по окружности, значит, его скорость перпендикулярна вектору индукции $\vec{B}$. Сила Лоренца

$F_{\text{Л}} = qvB\sin 90^{\circ} = qvB$

перпендикулярна скорости, работы не совершает, модуль скорости не меняет и играет роль центростремительной силы. По второму закону Ньютона для движения по окружности радиуса $R$:

$$qvB = \frac{m v^2}{R} \;\Rightarrow\; B = \frac{m v}{q R}.$$

3. Объединяем формулы. Подставив $v = \sqrt{\dfrac{2qU}{m}}$:

$$B = \frac{m}{qR}\sqrt{\frac{2qU}{m}} = \frac{1}{R}\sqrt{\frac{2mU}{q}}.$$

4. Расчёт.

$B = \dfrac{1}{0{,}3}\sqrt{\dfrac{2\cdot 1{,}5\cdot 10^{-25}\cdot 10^{3}}{3{,}2\cdot 10^{-19}}} = \dfrac{1}{0{,}3}\sqrt{\dfrac{3\cdot 10^{-22}}{3{,}2\cdot 10^{-19}}} = \dfrac{1}{0{,}3}\sqrt{9{,}375\cdot 10^{-4}} = \dfrac{0{,}0306}{0{,}3} \approx 0{,}1$ Тл.

Проверка вторым способом: $B = \dfrac{mv}{qR} = \dfrac{1{,}5\cdot 10^{-25}\cdot 6{,}53\cdot 10^{4}}{3{,}2\cdot 10^{-19}\cdot 0{,}3} = \dfrac{9{,}8\cdot 10^{-21}}{9{,}6\cdot 10^{-20}} \approx 0{,}10$ Тл — тот же результат.

Ответ: $B = \dfrac{1}{R}\sqrt{\dfrac{2mU}{q}} \approx 0{,}1$ Тл.