Задание №25 — Относительная скорость. Сложение скоростей

Решение:

Обозначения. $R$ — искомое сопротивление одного стержня (стержни одинаковы); $l = 10$ см $= 0{,}1$ м — расстояние между рельсами (длина участка стержня в поле); $B = 2$ Тл — модуль индукции вертикального магнитного поля; $F = 0{,}5$ Н — горизонтальная сила, приложенная к первому стержню вдоль рельсов; $v_{\text{отн}} = 0{,}75$ м/с — модуль скорости первого стержня относительно второго; $v_1, v_2$ — модули скоростей стержней относительно рельсов; $m$ — масса одного стержня; $\mu$ — коэффициент трения стержня о рельсы; $F_{\text{тр}}$ — модуль силы трения, действующей на стержень; $\mathcal{E}$ — ЭДС индукции в контуре; $I$ — сила индукционного тока; $F_A$ — модуль силы Ампера, действующей на стержень.

1. ЭДС индукции. Контур образован двумя стержнями и участками рельсов между ними. Его площадь $S = l\,x$, где $x$ — расстояние между стержнями, а магнитный поток через контур (поле вертикально, плоскость контура горизонтальна)

$\Phi = B S = B l x$.

По закону электромагнитной индукции Фарадея

$$\left|\mathcal{E}\right| = \left|\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}\right| = B l \left|\frac{\Delta x}{\Delta t}\right| = B l\left|v_1 - v_2\right| = B l\, v_{\text{отн}}.$$

Именно относительная скорость определяет ЭДС: при одинаковых скоростях площадь контура не менялась бы и тока не было бы.

2. Сила тока. Самоиндукцией пренебрегаем, сопротивление рельсов равно нулю, стержни включены в контур последовательно, поэтому полное сопротивление контура равно $2R$, и по закону Ома для замкнутой цепи

$$I = \frac{\left|\mathcal{E}\right|}{2R} = \frac{B l\, v_{\text{отн}}}{2R}.$$

3. Силы Ампера. Оба стержня несут один и тот же ток $I$, имеют одинаковую длину $l$ в поле и перпендикулярны вертикальному полю $\vec{B}$, поэтому модули действующих на них сил Ампера одинаковы:

$F_A = B I l$.

По правилу Ленца индукционный ток препятствует изменению площади контура: на первый стержень сила Ампера действует против его движения относительно второго (тормозит), а на второй — в сторону движения первого (тянет его вслед).

4. Динамика стержней. Оба стержня движутся поступательно равномерно, значит, равнодействующая сил на каждом равна нулю (первый закон Ньютона). Стержни одинаковы, оба скользят по рельсам, поэтому нормальные реакции $N = mg$ и модули сил трения скольжения $F_{\text{тр}} = \mu m g$ у них одинаковы.

Второй стержень (на него действуют только сила Ампера и трение вдоль рельсов):

$F_A - F_{\text{тр}} = 0 \;\Rightarrow\; F_{\text{тр}} = F_A$.

Первый стержень (внешняя сила, сила Ампера и трение):

$F - F_A - F_{\text{тр}} = 0 \;\Rightarrow\; F = F_A + F_{\text{тр}} = 2F_A$.

Отсюда

$F_A = \dfrac{F}{2} = \dfrac{0{,}5}{2} = 0{,}25$ Н.

5. Находим сопротивление. Подставим $I$ в выражение для силы Ампера:

$F_A = B l \cdot \dfrac{B l\, v_{\text{отн}}}{2R} = \dfrac{B^2 l^2 v_{\text{отн}}}{2R} = \dfrac{F}{2}$,

$$R = \frac{B^2 l^2 v_{\text{отн}}}{F}.$$

6. Расчёт.

$R = \dfrac{2^2 \cdot (0{,}1)^2 \cdot 0{,}75}{0{,}5} = \dfrac{4 \cdot 0{,}01 \cdot 0{,}75}{0{,}5} = \dfrac{0{,}03}{0{,}5} = 0{,}06$ Ом.

Проверка: $\left|\mathcal{E}\right| = 2\cdot 0{,}1\cdot 0{,}75 = 0{,}15$ В, $I = \dfrac{0{,}15}{2\cdot 0{,}06} = 1{,}25$ А, $F_A = 2\cdot 1{,}25\cdot 0{,}1 = 0{,}25$ Н $= \dfrac{F}{2}$ — согласовано.

Ответ: $R = \dfrac{B^2 l^2 v_{\text{отн}}}{F} = 0{,}06$ Ом $= 60$ мОм.