Задание №25 — Модуль вектора магнитной индукции и его направление

Решение:

Обозначения. $m$ — масса стержня; $L$ — его длина; $\dfrac{m}{L} = 0{,}1$ кг/м — заданное отношение; $a = 1{,}5$ м/с² — модуль ускорения стержня, направленного вверх вдоль наклонной плоскости; $\alpha = 30^{\circ}$ — угол наклона плоскости к горизонту; $B = 0{,}3$ Тл — модуль индукции вертикального магнитного поля; $I$ — искомая сила тока в стержне; $N$ — модуль силы нормальной реакции плоскости; $F_A$ — модуль силы Ампера; $g = 10$ м/с² — ускорение свободного падения.

Рисунок (описание сил, действующих на стержень). Стержень считаем твёрдым телом, движущимся поступательно, поэтому изобразим все силы приложенными к его центру:

• сила тяжести $m\vec{g}$ — вертикально вниз;
• сила нормальной реакции наклонной плоскости $\vec{N}$ — перпендикулярно поверхности наклонной плоскости, от плоскости наружу (то есть вверх и «назад», в сторону, противоположную скату);
• сила Ампера $\vec{F}_A$ — горизонтально, в ту же сторону, куда направлена горизонтальная проекция ускорения $\vec{a}$, то есть «в склон» (эта сила и разгоняет стержень вверх по плоскости);
• силы трения нет: по условию плоскость гладкая.

Ускорение $\vec{a}$ направлено вверх вдоль линии наибольшего ската.

1. Сила Ампера. Стержень горизонтален и перпендикулярен линии наибольшего ската, а вектор $\vec{B}$ вертикален, поэтому угол между стержнем и $\vec{B}$ равен $90^{\circ}$, и модуль силы Ампера

$F_A = B I L \sin 90^{\circ} = B I L$.

По правилу левой руки (или из $\vec{F}_A = I\,\vec{L}\times\vec{B}$) сила Ампера перпендикулярна и стержню, и вертикальному полю $\vec{B}$, значит, она горизонтальна и лежит в вертикальной плоскости, содержащей линию наибольшего ската.

2. Второй закон Ньютона. Записываем его в инерциальной системе отсчёта, связанной с землёй, для стержня как для тела, движущегося поступательно:

$$m\vec{a} = m\vec{g} + \vec{N} + \vec{F}_A.$$

Выберем ось $x$ вдоль наклонной плоскости вверх (по направлению $\vec{a}$), ось $y$ — по внешней нормали к плоскости. Тогда горизонтальная сила Ампера даёт проекции $F_A\cos\alpha$ на ось $x$ и $-F_A\sin\alpha$ на ось $y$; сила тяжести даёт $-mg\sin\alpha$ и $-mg\cos\alpha$; реакция $N$ даёт $0$ и $+N$.

Ось $x$: $\;F_A\cos\alpha - mg\sin\alpha = ma$.

Ось $y$: $\;N - mg\cos\alpha - F_A\sin\alpha = 0$, откуда $N = mg\cos\alpha + F_A\sin\alpha \gt 0$ — стержень не отрывается от плоскости.

3. Находим силу тока. Подставляя $F_A = BIL$ в уравнение для оси $x$:

$B I L \cos\alpha = m\left(a + g\sin\alpha\right)$,

$$I = \frac{m}{L}\cdot\frac{a + g\sin\alpha}{B\cos\alpha}.$$

4. Расчёт.

$a + g\sin\alpha = 1{,}5 + 10\cdot 0{,}5 = 6{,}5$ м/с²,

$B\cos\alpha = 0{,}3\cdot\dfrac{\sqrt{3}}{2} \approx 0{,}3 \cdot 0{,}866 \approx 0{,}26$ Тл,

$I = 0{,}1 \cdot \dfrac{6{,}5}{0{,}26} \approx 2{,}5$ А.

Проверка размерности: $\left[\dfrac{\text{кг}}{\text{м}}\cdot\dfrac{\text{м/с}^2}{\text{Тл}}\right] = \dfrac{\text{кг}}{\text{с}^2\cdot\text{Тл}} = \dfrac{\text{Н}}{\text{Тл}\cdot\text{м}} = \text{А}$ — верно.

Ответ: $I = \dfrac{m}{L}\cdot\dfrac{a + g\sin\alpha}{B\cos\alpha} \approx 2{,}5$ А.