Задание №25 — Закон сохранения энергии в колебательном контуре

Решение:

Обозначения. $\varepsilon = 6$ В — ЭДС источника; $r = 2$ Ом — его внутреннее сопротивление; $L = 1$ мГн $= 10^{-3}$ Гн — индуктивность катушки; $C$ — искомая ёмкость конденсатора; $I_0$ — сила тока в катушке непосредственно перед размыканием (и сразу после размыкания) ключа; $I = 2{,}4$ А — сила тока в контуре в рассматриваемый момент; $U_C$ — напряжение на конденсаторе в тот же момент, по условию $U_C = \varepsilon = 6$ В.

1. Состояние цепи до размыкания ключа. Ключ замкнут длительное время, значит все токи установились и не меняются: $\dfrac{\Delta I}{\Delta t} = 0$. Тогда ЭДС самоиндукции катушки $\left|\varepsilon_L\right| = L\left|\dfrac{\Delta I}{\Delta t}\right| = 0$, а активное сопротивление катушки и проводов равно нулю, поэтому напряжение на катушке равно нулю.

Конденсатор подключён параллельно катушке, следовательно, напряжение на нём тоже равно нулю: $U_C(0) = 0$. Конденсатор не заряжен, энергия его электрического поля равна нулю, и в установившемся режиме ток через конденсатор не течёт.

Значит, весь ток источника идёт по катушке, и по закону Ома для полной цепи (внешнее сопротивление равно нулю):

$I_0 = \dfrac{\varepsilon}{r} = \dfrac{6}{2} = 3$ А.

2. После размыкания ключа. Источник отключается, и остаётся замкнутый контур из катушки $L$ и конденсатора $C$. Сопротивление проводов и катушки равно нулю, поэтому джоулевых потерь нет, контур идеальный, и полная энергия электромагнитных колебаний сохраняется:

$$\frac{L I_0^2}{2} + \frac{C\,U_C^2(0)}{2} = \frac{L I^2}{2} + \frac{C\,U_C^2}{2}.$$

Так как $U_C(0) = 0$, то

$$\frac{L I_0^2}{2} = \frac{L I^2}{2} + \frac{C\,U_C^2}{2}.$$

3. Выражаем ёмкость. Учитывая $U_C = \varepsilon$ и $I_0 = \dfrac{\varepsilon}{r}$:

$$C = \frac{L\left(I_0^2 - I^2\right)}{U_C^2} = \frac{L\left(\dfrac{\varepsilon^2}{r^2} - I^2\right)}{\varepsilon^2}.$$

4. Расчёт.

$I_0^2 - I^2 = 3^2 - 2{,}4^2 = 9 - 5{,}76 = 3{,}24$ А$^2$,

$C = \dfrac{10^{-3} \cdot 3{,}24}{6^2} = \dfrac{3{,}24 \cdot 10^{-3}}{36} = 9 \cdot 10^{-5}$ Ф $= 90$ мкФ.

Проверка. Амплитуда напряжения на конденсаторе в таком контуре $U_{\max} = I_0\sqrt{\dfrac{L}{C}} = 3\sqrt{\dfrac{10^{-3}}{9\cdot 10^{-5}}} = 3 \cdot \dfrac{10}{3} = 10$ В. Так как $U_{\max} = 10$ В $\gt \varepsilon = 6$ В, момент, когда напряжение на конденсаторе равно 6 В, действительно наступает — решение непротиворечиво.

Ответ: $C = \dfrac{L\left(I_0^2 - I^2\right)}{\varepsilon^2} = 9 \cdot 10^{-5}$ Ф $= 90$ мкФ.