Задание №25 — Соединения проводников. Расчёт электрических цепей

Решение:

Обозначения. $\varepsilon = 110$ В — ЭДС источника; $r = 2$ Ом — его внутреннее сопротивление; $R = 20$ Ом — сопротивление одной лампы; $R_{\text{вн}}$ — сопротивление внешней части цепи (всех ламп); $I$ — сила тока через источник; $P_{\text{пол}}$ — полезная мощность (мощность, выделяющаяся во внешней цепи); $P_{\text{полн}}$ — полная мощность, развиваемая источником; $\eta$ — КПД источника.

1. Разбор схемы. Левые выводы ламп 1 и 2 соединены проводом — это один узел $A$; правые выводы ламп 3 и 4 соединены проводом — это один узел $D$; средние точки верхней и нижней ветвей соединены перемычкой — это один узел $M$. Следовательно, лампы 1 и 2 включены параллельно между узлами $A$ и $M$, лампы 3 и 4 — параллельно между узлами $M$ и $D$, а эти две пары соединены между собой последовательно.

Сопротивление каждой пары одинаковых параллельно соединённых ламп:

$R_{12} = R_{34} = \dfrac{R}{2} = \dfrac{20}{2} = 10$ Ом.

Сопротивление внешней цепи (последовательное соединение пар):

$R_{\text{вн}} = R_{12} + R_{34} = 10 + 10 = 20$ Ом.

Замечание о перемычке: верхняя ветвь «лампа 1 — лампа 3» и нижняя ветвь «лампа 2 — лампа 4» абсолютно одинаковы, поэтому потенциалы их средних точек равны и ток по перемычке не течёт. Поэтому её наличие ничего не меняет: и без неё внешнее сопротивление равно $R_{\text{вн}} = \dfrac{2R \cdot 2R}{2R + 2R} = R = 20$ Ом — тот же результат.

2. Закон Ома для полной цепи (источник с ЭДС $\varepsilon$ и внутренним сопротивлением $r$, замкнутый на внешнее сопротивление $R_{\text{вн}}$):

$I = \dfrac{\varepsilon}{R_{\text{вн}} + r} = \dfrac{110}{20 + 2} = 5$ А.

3. Мощности. Полезная мощность — та, что выделяется во внешней цепи (закон Джоуля — Ленца):

$P_{\text{пол}} = I^2 R_{\text{вн}} = 5^2 \cdot 20 = 500$ Вт.

Полная мощность, развиваемая источником (работа сторонних сил в единицу времени):

$P_{\text{полн}} = \varepsilon I = 110 \cdot 5 = 550$ Вт.

4. КПД источника:

$$\eta = \frac{P_{\text{пол}}}{P_{\text{полн}}} = \frac{I^2 R_{\text{вн}}}{\varepsilon I} = \frac{I R_{\text{вн}}}{\varepsilon} = \frac{R_{\text{вн}}}{R_{\text{вн}} + r}.$$

$\eta = \dfrac{20}{20 + 2} = \dfrac{10}{11} \approx 0{,}91$, то есть около 91 %.

Проверка: часть мощности, теряемая внутри источника, $I^2 r = 25 \cdot 2 = 50$ Вт; $500 + 50 = 550$ Вт $= P_{\text{полн}}$ — баланс мощностей выполняется.

Ответ: $\eta = \dfrac{R_{\text{вн}}}{R_{\text{вн}} + r} = \dfrac{10}{11} \approx 0{,}91$, то есть КПД источника примерно 91 %.