Задание №25 — Закон сохранения энергии в колебательном контуре

Решение:

Обозначения. $\mathcal{E} = 3$ В — ЭДС источника; $r = 2$ Ом — его внутреннее сопротивление; $L = 1$ мГн $= 10^{-3}$ Гн — индуктивность катушки; $C = 50$ мкФ $= 5\cdot 10^{-5}$ Ф — ёмкость конденсатора; $I_{0}$ — сила тока через катушку в момент размыкания ключа; $U_{0}$ — напряжение на конденсаторе в этот же момент; $I = 1$ А — сила тока в контуре в рассматриваемый момент; $U$ — искомое напряжение на конденсаторе.

1. Состояние до размыкания ключа. Ключ замкнут длительное время, значит в цепи установился постоянный режим. Ток через катушку постоянен, поэтому ЭДС самоиндукции $\mathcal{E}_{s} = -L\dfrac{\Delta I}{\Delta t}$ равна нулю; активного сопротивления у катушки нет, поэтому напряжение на ней равно нулю. Конденсатор подключён параллельно катушке, следовательно

$$U_{0} = 0,$$

то есть конденсатор не заряжен и энергия его электрического поля равна нулю. Постоянный ток через конденсатор не течёт, поэтому весь ток источника идёт через катушку. Внешнее сопротивление цепи равно нулю, и по закону Ома для полной цепи

$$I_{0} = \frac{\mathcal{E}}{r} = \frac{3}{2} = 1{,}5\ \text{А}.$$

2. После размыкания ключа. Ключ отключает ветвь с источником, и остаётся замкнутый колебательный контур из катушки $L$ и конденсатора $C$. Ток в катушке не может измениться скачком, поэтому начальные условия для колебаний: ток $I_{0} = 1{,}5$ А, напряжение на конденсаторе $U_{0} = 0$.

3. Закон сохранения энергии в контуре. Сопротивлением проводов и катушки пренебрегаем, значит теплота не выделяется и полная электромагнитная энергия контура (сумма энергии магнитного поля катушки и энергии электрического поля конденсатора) сохраняется:

$$\frac{LI_{0}^{2}}{2} + \frac{CU_{0}^{2}}{2} = \frac{LI^{2}}{2} + \frac{CU^{2}}{2},\qquad U_{0} = 0.$$

Отсюда

$$\frac{CU^{2}}{2} = \frac{L\left(I_{0}^{2} - I^{2}\right)}{2}\quad\Longrightarrow\quad U = \sqrt{\frac{L\left(I_{0}^{2} - I^{2}\right)}{C}} = \sqrt{\frac{L}{C}\left(\left(\frac{\mathcal{E}}{r}\right)^{2} - I^{2}\right)}.$$

Расчёт.

$$U = \sqrt{\frac{10^{-3}\cdot\left(1{,}5^{2} - 1^{2}\right)}{5\cdot 10^{-5}}} = \sqrt{\frac{10^{-3}\cdot 1{,}25}{5\cdot 10^{-5}}} = \sqrt{25} = 5\ \text{В}.$$

Ответ: $U = 5$ В.