Задание №25 — Относительная скорость. Сложение скоростей

Решение:

Обозначения. $R = 0{,}1$ Ом — сопротивление каждого стержня; $l = 0{,}1$ м — расстояние между рельсами (длина активной части стержня); $B = 1$ Тл — модуль индукции вертикального магнитного поля; $F = 0{,}1$ Н — приложенная к первому стержню горизонтальная сила; $m$ — масса каждого стержня, $\mu$ — коэффициент трения стержня о рельсы (в ответ не входят); $v_{1}$ и $v_{2}$ — скорости первого и второго стержней; $u = v_{1} - v_{2}$ — искомая скорость первого стержня относительно второго; $\mathcal{E}$ — ЭДС индукции; $I$ — сила тока в контуре; $F_{\text{А}} = BIl$ — сила Ампера, действующая на каждый стержень; $F_{\text{тр}}$ — сила трения скольжения.

1. ЭДС индукции. Контур образован двумя стержнями и участками рельсов; его площадь равна $lx$, где $x$ — расстояние между стержнями. Магнитный поток $\Phi = Blx$ (поле вертикально, плоскость контура горизонтальна). Скорость изменения расстояния между стержнями равна модулю их относительной скорости, поэтому по закону электромагнитной индукции Фарадея

$$\mathcal{E} = \left|\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}\right| = Bl\left|v_{1} - v_{2}\right| = Blu.$$

Существенно, что ЭДС определяется именно относительной скоростью стержней.

2. Сила тока. Сопротивление рельсов пренебрежимо мало, поэтому в контуре последовательно включены два одинаковых сопротивления $R$. Самоиндукцией пренебрегаем, значит по закону Ома для замкнутой цепи

$$I = \frac{\mathcal{E}}{2R} = \frac{Blu}{2R}.$$

3. Силы Ампера. Ток в обоих стержнях одинаков, стержни горизонтальны и перпендикулярны вертикальному полю, поэтому на каждый из них действует сила Ампера одного и того же модуля $F_{\text{А}} = BIl$, направленная горизонтально вдоль рельсов. По правилу Ленца эти силы стремятся уменьшить изменение потока, то есть сблизить стержни: на первый стержень сила Ампера действует против его движения, а второй стержень она увлекает вслед за первым.

4. Уравнения движения. Оба стержня движутся поступательно и равномерно, ускорения равны нулю, значит по второму закону Ньютона сумма сил, действующих на каждый стержень, равна нулю. Стержни одинаковы, силы Ампера горизонтальны, поэтому сила нормальной реакции для каждого равна $mg$ и силы трения скольжения одинаковы: $F_{\text{тр}} = \mu mg$.

Второй стержень (его разгоняет только сила Ампера, тормозит трение):

$$BIl - \mu mg = 0\quad\Longrightarrow\quad BIl = \mu mg.$$

Первый стержень (его тянет внешняя сила, тормозят трение и сила Ампера):

$$F - BIl - \mu mg = 0.$$

Складывая эти два соотношения, исключаем неизвестное трение:

$$F = BIl + \mu mg = 2BIl\quad\Longrightarrow\quad BIl = \frac{F}{2} = 0{,}05\ \text{Н}.$$

5. Относительная скорость. Подставим $I = \dfrac{Blu}{2R}$:

$$\frac{B^{2}l^{2}u}{2R} = \frac{F}{2}\quad\Longrightarrow\quad u = \frac{FR}{B^{2}l^{2}}.$$

Расчёт.

$$u = \frac{0{,}1\cdot 0{,}1}{1^{2}\cdot (0{,}1)^{2}} = \frac{0{,}01}{0{,}01} = 1\ \frac{\text{м}}{\text{с}}.$$

(Для проверки: $I = \dfrac{F}{2Bl} = 0{,}5$ А, $\mathcal{E} = 2IR = 0{,}1$ В, $u = \dfrac{\mathcal{E}}{Bl} = 1$ м/с.)

Ответ: $u = 1$ м/с — первый стержень удаляется от второго со скоростью 1 м/с.