Задание №25 — Электрическое сопротивление

Решение:

Обозначения. $m = 370$ г $= 0{,}37$ кг — масса перемычки; $l = 1$ м — её длина (расстояние между параллельными сторонами стержня); $R = 0{,}025$ Ом — сопротивление перемычки, оно же полное сопротивление контура, так как сопротивлением стержня пренебрегаем; $B = 0{,}1$ Тл — модуль индукции вертикального магнитного поля; $v = 2$ м/с — постоянная скорость; $\mu = 0{,}2$ — коэффициент трения; $\mathcal{E}$ — ЭДС индукции; $I$ — сила индукционного тока; $F_{\text{А}}$ — сила Ампера; $N$ — сила нормальной реакции; $F_{\text{тр}} = \mu N$ — сила трения скольжения; $F$ — искомая горизонтальная сила; $g = 10$ м/с$^{2}$.

Рисунок (силы, действующие на перемычку). Перемычка лежит на горизонтальном стержне, на неё действуют:

• сила тяжести $m\vec{g}$ — вертикально вниз;
• сила нормальной реакции $\vec{N}$ — вертикально вверх;
• приложенная сила $\vec{F}$ — горизонтально, по направлению движения;
• сила трения скольжения $\vec{F}_{\text{тр}}$ — горизонтально, против движения;
• сила Ампера $\vec{F}_{\text{А}}$ — горизонтально, против движения (по правилу Ленца индукционный ток и его взаимодействие с полем препятствуют изменению магнитного потока, поэтому сила Ампера тормозит перемычку).

Все три горизонтальные силы лежат вдоль линии движения; сила Ампера горизонтальна потому, что ток в перемычке горизонтален, а поле вертикально: $\vec{F}_{\text{А}} = I\vec{l}\times\vec{B}$ перпендикулярен $\vec{B}$.

1. ЭДС индукции и ток. При движении перемычки площадь контура меняется со скоростью $lv$, поэтому магнитный поток $\Phi = Blx$ меняется со скоростью $Blv$. По закону электромагнитной индукции Фарадея

$$\mathcal{E} = Blv = 0{,}1\cdot 1\cdot 2 = 0{,}2\ \text{В}.$$

По закону Ома для замкнутой цепи (сопротивление стержня равно нулю)

$$I = \frac{\mathcal{E}}{R} = \frac{Blv}{R} = \frac{0{,}2}{0{,}025} = 8\ \text{А}.$$

2. Сила Ампера. Ток перпендикулярен вертикальному полю, поэтому

$$F_{\text{А}} = BIl = \frac{B^{2}l^{2}v}{R} = \frac{(0{,}1)^{2}\cdot 1^{2}\cdot 2}{0{,}025} = 0{,}8\ \text{Н}.$$

3. Условия равномерного движения. Скорость постоянна, ускорение равно нулю, значит по второму закону Ньютона сумма сил равна нулю.

Проекция на вертикаль (все электромагнитные силы горизонтальны):

$$N = mg = 0{,}37\cdot 10 = 3{,}7\ \text{Н},\qquad F_{\text{тр}} = \mu N = \mu mg = 0{,}2\cdot 3{,}7 = 0{,}74\ \text{Н}.$$

Проекция на направление движения:

$$F - F_{\text{тр}} - F_{\text{А}} = 0\quad\Longrightarrow\quad F = \mu mg + \frac{B^{2}l^{2}v}{R}.$$

Расчёт.

$$F = 0{,}74 + 0{,}8 = 1{,}54\ \text{Н}.$$

Ответ: $F = 1{,}54$ Н $\approx 1{,}5$ Н.