Задание №25 — Явление электромагнитной индукции. Магнитный поток

Решение:

Обозначения. $l = 10$ см $= 0{,}1$ м — сторона квадратной рамки; $S = l^{2}$ — площадь рамки; $S_{0}$ — искомая площадь поперечного сечения провода; $\rho = 1{,}7\cdot 10^{-8}$ Ом·м — удельное сопротивление меди; $R$ — сопротивление рамки; $\mathcal{E}$ — ЭДС индукции; $I$ — сила индукционного тока; $\tau = 5$ с; $Q = 53$ мкДж $= 5{,}3\cdot 10^{-5}$ Дж — выделившееся количество теплоты.

1. Скорость изменения магнитного поля. По графику зависимость $B_{n}(t)$ линейна: при $t = 0$ $B_{n} = 0{,}3$ Тл, при $t = 5$ с $B_{n} = -0{,}2$ Тл, поэтому

$$\left|\frac{\Delta B_{n}}{\Delta t}\right| = \frac{\left|-0{,}2 - 0{,}3\right|}{5} = 0{,}1\ \frac{\text{Тл}}{\text{с}} = \text{const}.$$

2. ЭДС индукции. Магнитный поток через рамку $\Phi = B_{n}l^{2}$, площадь рамки постоянна. По закону электромагнитной индукции Фарадея

$$\mathcal{E} = \left|\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}\right| = l^{2}\left|\frac{\Delta B_{n}}{\Delta t}\right| = (0{,}1)^{2}\cdot 0{,}1 = 1\cdot 10^{-3}\ \text{В}.$$

ЭДС постоянна на всём рассматриваемом интервале $0 \le t \le 5$ с, поэтому постоянен и ток.

3. Сопротивление рамки. Рамка — медный провод длиной $4l$ с площадью сечения $S_{0}$:

$$R = \rho\,\frac{4l}{S_{0}}.$$

4. Закон Джоуля — Ленца. С учётом закона Ома для замкнутой цепи $I = \mathcal{E}/R$:

$$Q = I^{2}R\tau = \frac{\mathcal{E}^{2}\tau}{R} = \frac{\mathcal{E}^{2}\tau S_{0}}{4\rho l}\quad\Longrightarrow\quad S_{0} = \frac{4\rho l\,Q}{\mathcal{E}^{2}\tau}.$$

Расчёт.

$$S_{0} = \frac{4\cdot 1{,}7\cdot 10^{-8}\cdot 0{,}1\cdot 5{,}3\cdot 10^{-5}}{\left(10^{-3}\right)^{2}\cdot 5} = \frac{3{,}6\cdot 10^{-13}}{5\cdot 10^{-6}} \approx 7{,}2\cdot 10^{-8}\ \text{м}^{2} \approx 0{,}072\ \text{мм}^{2}.$$

Ответ: $S_{0} \approx 7{,}2\cdot 10^{-8}$ м$^{2} \approx 0{,}07$ мм$^{2}$.