Задание №25 — Закон Ампера. Направление силы Ампера.

Решение:

Обозначения. $m = 20$ г $= 0{,}02$ кг — масса проводника; $\alpha = 30^{\circ}$ — угол наклона плоскости; $B = 0{,}04$ Тл — модуль индукции вертикального магнитного поля; $L = 0{,}4$ м — длина проводника между рельсами; $\mu = 0{,}2$ — коэффициент трения; $I$ — искомая сила тока; $N$ — модуль силы нормальной реакции рельсов; $F_{\text{тр}} = \mu N$ — сила трения скольжения; $F_{\text{А}}$ — сила Ампера; $g = 10$ м/с$^{2}$ — ускорение свободного падения.

Рисунок (силы, действующие на проводник). На проводник действуют четыре силы:

• сила тяжести $m\vec{g}$ — вертикально вниз;
• сила нормальной реакции $\vec{N}$ — перпендикулярно наклонной плоскости, от плоскости наружу;
• сила трения скольжения $\vec{F}_{\text{тр}}$ — вдоль наклонной плоскости вниз по склону (проводник скользит вверх, трение направлено против скорости);
• сила Ампера $\vec{F}_{\text{А}}$ — горизонтально, перпендикулярно проводнику, в сторону подъёма (в горизонтальной проекции — «на склон»).

Направление силы Ампера следует из формулы $\vec{F}_{\text{А}} = I\vec{L}\times\vec{B}$: проводник (а значит, и ток) горизонтален, вектор $\vec{B}$ вертикален, они перпендикулярны, поэтому

$$F_{\text{А}} = BIL\sin 90^{\circ} = BIL,$$

а сам вектор $\vec{F}_{\text{А}}$ перпендикулярен и проводнику, и $\vec{B}$, то есть лежит в горизонтальной плоскости и направлен вдоль горизонтальной проекции линии наибольшего ската (иначе проводник не смог бы двигаться вверх).

Уравнения равновесия. Проводник движется поступательно, равномерно и прямолинейно, значит ускорение равно нулю и по второму закону Ньютона векторная сумма всех сил равна нулю. Выберем оси: $Ox$ — вдоль наклонной плоскости вверх по склону, $Oy$ — по нормали к плоскости наружу. Горизонтальная сила Ампера даёт проекции $F_{\text{А}}\cos\alpha$ на ось $Ox$ и $-F_{\text{А}}\sin\alpha$ на ось $Oy$ (она дополнительно прижимает проводник к рельсам); сила тяжести даёт $-mg\sin\alpha$ и $-mg\cos\alpha$. Получаем

$$Ox:\quad BIL\cos\alpha - mg\sin\alpha - \mu N = 0,$$

$$Oy:\quad N - mg\cos\alpha - BIL\sin\alpha = 0.$$

Математические преобразования. Из второго уравнения $N = mg\cos\alpha + BIL\sin\alpha$. Подставляя в первое:

$$BIL\cos\alpha - mg\sin\alpha - \mu\left(mg\cos\alpha + BIL\sin\alpha\right) = 0,$$

$$BIL\left(\cos\alpha - \mu\sin\alpha\right) = mg\left(\sin\alpha + \mu\cos\alpha\right),$$

$$I = \frac{mg\left(\sin\alpha + \mu\cos\alpha\right)}{BL\left(\cos\alpha - \mu\sin\alpha\right)}.$$

Расчёт. $\sin 30^{\circ} = 0{,}5$, $\cos 30^{\circ} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\approx 0{,}87$:

$$I = \frac{0{,}02\cdot 10\cdot\left(0{,}5 + 0{,}2\cdot 0{,}87\right)}{0{,}04\cdot 0{,}4\cdot\left(0{,}87 - 0{,}2\cdot 0{,}5\right)} = \frac{0{,}2\cdot 0{,}673}{0{,}016\cdot 0{,}766}\approx 11\ \text{А}.$$

Ответ: $I \approx 11$ А.