Задание №25 — Энергия поля конденсатора

#68169Задание №25ФИПИ

Электрическое поле. Его действие на электрические зарядыПотенциальность электростатического поля

На рисунке показана схема устройства для предварительного отбора заряженных частиц, вылетающих из источника частиц (и. ч.), для последующего детального исследования. Устройство представляет собой конденсатор, пластины которого изогнуты дугой радиусом R. При первоначальном напряжении U в промежутке между обкладками конденсатора, не касаясь их, пролетают молекулы интересующего исследователей вещества, потерявшие один электрон. Во сколько раз нужно изменить скорость частиц, чтобы сквозь него могли пролетать такие же, но дважды ионизированные молекулы (потерявшие два электрона), при том же напряжении на обкладках конденсатора? Считать, что расстояние между пластинами мало, напряжённость электрического поля в конденсаторе всюду одинакова по модулю, а вне конденсатора электрическое поле отсутствует. Влиянием силы тяжести пренебречь.

Ваше решениедо 3 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение:

Обозначения. $R$ — радиус дуги, по которой изогнуты пластины и вдоль которой (по средней линии зазора) летят отбираемые частицы; $d$ — расстояние между обкладками; $U$ — напряжение на конденсаторе; $E = U/d$ — модуль напряжённости однородного поля в зазоре; $m$ — масса молекулы; $e$ — модуль заряда электрона; $q_{1} = e$ — заряд однократно ионизованной молекулы (потеряла один электрон), $q_{2} = 2e$ — заряд дважды ионизованной; $v_{1}$ и $v_{2}$ — скорости этих частиц, при которых они пролетают сквозь устройство.

Физическая модель. Частица пролетает конденсатор, не касаясь пластин, значит, её траектория — дуга окружности радиуса $R$ , совпадающая со средней линией зазора. Силой тяжести по условию пренебрегаем, вне конденсатора поля нет, поэтому внутри устройства на частицу действует единственная сила — электрическая $F = qE$ . Она направлена перпендикулярно пластинам, то есть перпендикулярно скорости частицы и вдоль радиуса — к центру окружности. Сила, перпендикулярная скорости, не меняет модуль скорости и играет роль центростремительной силы: движение по дуге равномерное.

Уравнение движения. Второй закон Ньютона в проекции на направление к центру окружности (центростремительное ускорение $a = v^{2}/R$ ):

$qE = \frac{mv^{2}}{R},\qquad E = \frac{U}{d}\quad\Longrightarrow\quad \frac{qU}{d} = \frac{mv^{2}}{R}.$

Отсюда условие пролёта частицы с зарядом $q$ :

$v = \sqrt{\frac{qUR}{md}}.$

Сравнение двух случаев. Речь идёт о молекулах одного и того же вещества, поэтому массы частиц можно считать одинаковыми: потеря ещё одного электрона уменьшает массу на массу электрона, что пренебрежимо мало по сравнению с массой молекулы. Величины $U$ , $d$ , $R$ по условию те же самые. Тогда

$\frac{v_{2}}{v_{1}} = \sqrt{\frac{q_{2}}{q_{1}}} = \sqrt{\frac{2e}{e}} = \sqrt{2}\approx 1{,}4.$

Ответ: скорость частиц нужно увеличить в $\sqrt{2}\approx 1{,}4$ раза.