Задание №25 — Явление электромагнитной индукции. Магнитный поток

Решение:

Обозначения. $l = 10$ см $= 0{,}1$ м — сторона квадратной рамки; $S = l^{2}$ — площадь рамки; $S_{0} = 0{,}1$ мм$^{2} = 10^{-7}$ м$^{2}$ — площадь поперечного сечения провода; $\rho = 1{,}7\cdot 10^{-8}$ Ом·м — удельное сопротивление меди; $L_{\text{пр}} = 4l$ — длина провода, из которого сделана рамка; $R$ — сопротивление рамки; $\mathcal{E}$ — ЭДС индукции; $I$ — сила индукционного тока; $\tau = 4$ с — промежуток времени; $Q$ — выделившееся количество теплоты.

1. Скорость изменения магнитного поля. По графику зависимость $B_{n}(t)$ линейна: при $t = 0$ $B_{n} = 0{,}3$ Тл, при $t = 5$ с $B_{n} = -0{,}2$ Тл. Следовательно, скорость изменения проекции индукции постоянна:

$$\frac{\Delta B_{n}}{\Delta t} = \frac{-0{,}2 - 0{,}3}{5} = -0{,}1\ \frac{\text{Тл}}{\text{с}},\qquad \left|\frac{\Delta B_{n}}{\Delta t}\right| = 0{,}1\ \frac{\text{Тл}}{\text{с}}.$$

2. ЭДС индукции. Магнитный поток через рамку $\Phi = B_{n}S = B_{n}l^{2}$ (площадь рамки постоянна, меняется только поле). По закону электромагнитной индукции Фарадея

$$\mathcal{E} = \left|\frac{\Delta\Phi}{\Delta t}\right| = l^{2}\left|\frac{\Delta B_{n}}{\Delta t}\right| = (0{,}1)^{2}\cdot 0{,}1 = 1\cdot 10^{-3}\ \text{В}.$$

Так как $\Delta B_{n}/\Delta t$ постоянна, ЭДС индукции и индукционный ток постоянны в течение всего рассматриваемого промежутка времени (весь он лежит на прямолинейном участке графика).

3. Сопротивление рамки. Рамка — замкнутый медный провод длиной $4l$ с сечением $S_{0}$:

$$R = \rho\,\frac{4l}{S_{0}} = 1{,}7\cdot 10^{-8}\cdot\frac{0{,}4}{10^{-7}} = 0{,}068\ \text{Ом}.$$

4. Количество теплоты. По закону Ома для замкнутой цепи $I = \mathcal{E}/R$, по закону Джоуля — Ленца при постоянном токе

$$Q = I^{2}R\tau = \frac{\mathcal{E}^{2}}{R}\,\tau = \frac{\mathcal{E}^{2}S_{0}\,\tau}{4\rho l}.$$

Численно:

$$Q = \frac{\left(10^{-3}\right)^{2}}{0{,}068}\cdot 4 \approx 5{,}9\cdot 10^{-5}\ \text{Дж} \approx 59\ \text{мкДж}.$$

Ответ: $Q \approx 5{,}9\cdot 10^{-5}$ Дж $\approx 59$ мкДж.