Задание №25 — Работа и мощность тока. Закон Джоуля-Ленца

Решение:

Обозначения. $\varepsilon = 12$ В — ЭДС источника; $r = 1$ Ом — его внутреннее сопротивление; $R_1 = 8$ Ом и $R_2 = 3$ Ом — сопротивления резисторов; $C = 4$ мкФ $= 4\cdot 10^{-6}$ Ф — электроёмкость конденсатора; $L = 24$ мкГн $= 24\cdot 10^{-6}$ Гн — индуктивность катушки; $I_0$ — сила тока в цепи при замкнутом ключе; $U_C$ — напряжение на конденсаторе при замкнутом ключе; $W_C$ и $W_L$ — энергии электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки в этот момент; $Q$ — количество теплоты, выделившееся на $R_2$ после размыкания ключа.

Используемые законы. Закон Ома для полной цепи $I = \dfrac{\varepsilon}{R + r}$; энергия заряженного конденсатора $W_C = \dfrac{CU_C^2}{2}$; энергия катушки с током $W_L = \dfrac{LI^2}{2}$; закон сохранения энергии; закон Джоуля—Ленца.

1. Состояние до размыкания ключа. Ключ замкнут длительное время, ток установился и постоянен. Постоянный ток через конденсатор не течёт, а на катушке, сопротивлением которой пренебрегаем, падение напряжения равно нулю. Значит, ток идёт по контуру источник — $R_1$ — катушка $L$ — резистор $R_2$ — ключ К — источник, где $r$, $R_1$ и $R_2$ соединены последовательно:

$$I_0 = \frac{\varepsilon}{r + R_1 + R_2} = \frac{12}{1 + 8 + 3} = 1\ \text{А}.$$

Конденсатор подключён параллельно цепочке из катушки и $R_2$; напряжение на катушке равно нулю, поэтому

$$U_C = I_0 R_2 = 1\cdot 3 = 3\ \text{В}.$$

Запасённые энергии:

$$W_C = \frac{CU_C^2}{2} = \frac{4\cdot 10^{-6}\cdot 3^2}{2} = 1{,}8\cdot 10^{-5}\ \text{Дж},\qquad W_L = \frac{LI_0^2}{2} = \frac{24\cdot 10^{-6}\cdot 1^2}{2} = 1{,}2\cdot 10^{-5}\ \text{Дж}.$$

2. После размыкания ключа. Ветвь с источником и резистором $R_1$ размыкается, ток через $R_1$ прекращается. Остаётся замкнутый контур $C$—$L$—$R_2$, в котором происходят затухающие электромагнитные колебания. В конечном состоянии конденсатор разряжен и ток равен нулю, поэтому вся электромагнитная энергия, запасённая к моменту размыкания, превращается в теплоту. Единственный элемент этого контура с ненулевым сопротивлением — резистор $R_2$, значит вся теплота выделяется на нём. По закону сохранения энергии

$$Q = W_C + W_L = \frac{C(I_0R_2)^2}{2} + \frac{LI_0^2}{2}.$$

$$Q = 1{,}8\cdot 10^{-5} + 1{,}2\cdot 10^{-5} = 3{,}0\cdot 10^{-5}\ \text{Дж}.$$

Ответ: $Q = 3\cdot 10^{-5}$ Дж $= 30$ мкДж.