Задание №25 — Энергия поля конденсатора

#68264Задание №25ФИПИ

Электрическое поле. Его действие на электрические зарядыПотенциальность электростатического поля

Ha рисунке показана схема устройства для предварительного отбора заряженных частиц, вылетающих из источника частиц (и. ч.), для последующего детального исследования. Устройство представляет собой конденсатор, пластины которого изогнуты дугой радиусом R. При первоначальном напряжении U в промежутке между обкладками конденсатора, не касаясь их, пролетают молекулы интересующего исследователей вещества, потерявшие один электрон. Во сколько раз нужно изменить напряжение на обкладках конденсатора, чтобы сквозь него могли пролетать такие же, но дважды ионизированные молекулы (потерявшие два электрона), имеющие такую же скорость? Считать, что расстояние между пластинами мало, напряжённость электрического поля в конденсаторе всюду одинакова по модулю, a вне конденсатора электрическое поле отсутствует. Влиянием силы тяжести пренебречь.

Ваше решениедо 3 баллов

Проверка решения с помощью ИИ доступна авторизованным пользователям

Решение:

Обозначения. $R$ — радиус дуги, по которой изогнуты пластины (и по которой движется отбираемая частица); $d$ — расстояние между обкладками ( $d \ll R$ ); $U$ — первоначальное напряжение на конденсаторе; $U'$ — искомое напряжение; $E = U/d$ и $E' = U'/d$ — модули напряжённости поля между обкладками; $e = 1{,}6\cdot 10^{-19}$ Кл — модуль заряда электрона; $q_1 = e$ — заряд однократно ионизированной молекулы, $q_2 = 2e$ — заряд дважды ионизированной; $m$ — масса молекулы; $v$ — её скорость; $a$ — центростремительное ускорение.

Используемые законы. Связь однородного поля с напряжением: $E = \dfrac{U}{d}$ . Сила, действующая на заряд в электрическом поле: $F = qE$ . Второй закон Ньютона для движения по окружности радиуса $R$ с постоянной по модулю скоростью: $F = ma = \dfrac{mv^2}{R}$ .

Ход решения. Чтобы молекула пролетела сквозь конденсатор, не касаясь пластин, она должна двигаться по средней линии — по дуге окружности радиуса $R$ . Влиянием силы тяжести пренебрегаем, поэтому единственная сила, действующая на ион, — электрическая сила со стороны поля конденсатора; она направлена перпендикулярно скорости (к центру дуги) и играет роль центростремительной силы. Модуль скорости при этом не меняется, а второй закон Ньютона в проекции на направление к центру даёт для однократно ионизированной молекулы

$eE = \frac{mv^2}{R},\qquad \text{то есть}\qquad \frac{eU}{d} = \frac{mv^2}{R}.$

Дважды ионизированная молекула того же вещества имеет практически ту же массу $m$ (потеря ещё одного электрона меняет массу молекулы пренебрежимо мало) и, по условию, ту же скорость $v$ ; радиус траектории должен остаться прежним — $R$ . Для неё

$\frac{2eU'}{d} = \frac{mv^2}{R}.$

Правые части уравнений одинаковы, значит одинаковы и левые:

$\frac{eU}{d} = \frac{2eU'}{d} \;\Longrightarrow\; U' = \frac{U}{2},\qquad \frac{U'}{U} = \frac{1}{2}.$

Физический смысл: при вдвое большем заряде та же напряжённость поля создавала бы вдвое большую силу, и ион ушёл бы с нужной дуги, поэтому поле (а значит, и напряжение) надо ослабить вдвое.

Ответ: напряжение нужно уменьшить в 2 раза ( $U' = U/2$ ).