Задание №25 — Работа и мощность тока. Закон Джоуля-Ленца

Решение:

Обозначения. $\epsilon = 18$ В — ЭДС источника; $r = 2$ Ом — его внутреннее сопротивление; $R_1 = 10$ Ом и $R_2 = 6$ Ом — сопротивления резисторов; $C = 6$ мкФ $= 6\cdot 10^{-6}$ Ф — электроёмкость конденсатора; $L = 12$ мкГн $= 12\cdot 10^{-6}$ Гн — индуктивность катушки; $I_0$ — сила тока в цепи при замкнутом ключе; $U_C$ — напряжение на конденсаторе при замкнутом ключе; $W_C$ и $W_L$ — энергии электрического поля конденсатора и магнитного поля катушки в этот момент; $Q$ — количество теплоты, выделившееся на $R_2$ после размыкания ключа.

Используемые законы. Закон Ома для полной цепи $I = \dfrac{\epsilon}{R + r}$; энергия конденсатора $W_C = \dfrac{CU_C^2}{2}$; энергия катушки $W_L = \dfrac{LI^2}{2}$; закон сохранения энергии; закон Джоуля—Ленца.

1. Состояние до размыкания ключа. Ключ замкнут длительное время, все процессы установились: токи постоянны. При постоянном токе конденсатор ток не пропускает, а на катушке (её сопротивлением пренебрегаем) нет падения напряжения — она работает как идеальный проводник. Поэтому ток идёт по единственному контуру: источник — $R_1$ — катушка $L$ — резистор $R_2$ — ключ К — источник, и все три сопротивления соединены последовательно:

$$I_0 = \frac{\epsilon}{r + R_1 + R_2} = \frac{18}{2 + 10 + 6} = 1\ \text{А}.$$

Конденсатор подключён параллельно последовательно соединённым $L$ и $R_2$. Падение напряжения на катушке равно нулю, поэтому напряжение на конденсаторе равно напряжению на $R_2$:

$$U_C = I_0 R_2 = 1\cdot 6 = 6\ \text{В}.$$

Запасённые энергии:

$$W_C = \frac{CU_C^2}{2} = \frac{6\cdot 10^{-6}\cdot 6^2}{2} = 1{,}08\cdot 10^{-4}\ \text{Дж},\qquad W_L = \frac{LI_0^2}{2} = \frac{12\cdot 10^{-6}\cdot 1^2}{2} = 6\cdot 10^{-6}\ \text{Дж}.$$

2. После размыкания ключа. Ветвь с источником и резистором $R_1$ отключается от цепи, ток через $R_1$ прекращается. Остаётся замкнутый контур из конденсатора $C$, катушки $L$ и резистора $R_2$ — колебательный контур с активным сопротивлением. В нём возникают затухающие колебания, и в конце концов конденсатор полностью разряжается, а ток прекращается: вся запасённая электромагнитная энергия переходит во внутреннюю энергию, то есть выделяется в виде теплоты. Единственный элемент контура, обладающий сопротивлением, — резистор $R_2$ (сопротивлением катушки пренебрегаем), поэтому вся эта теплота выделяется именно на нём. По закону сохранения энергии

$$Q = W_C + W_L = \frac{CU_C^2}{2} + \frac{LI_0^2}{2} = \frac{C(I_0R_2)^2}{2} + \frac{LI_0^2}{2}.$$

$$Q = 1{,}08\cdot 10^{-4} + 0{,}06\cdot 10^{-4} = 1{,}14\cdot 10^{-4}\ \text{Дж}.$$

Ответ: $Q = 1{,}14\cdot 10^{-4}$ Дж $= 114$ мкДж.