Задание №25 — Конденсатор. Электрическая ёмкость конденсатора

Решение:

Обозначения. $l = 10$ см $= 0{,}1$ м — длина проводника (расстояние между шинами); $m = 25$ г $= 0{,}025$ кг — его масса; $B = 0{,}5$ Тл — индукция горизонтального магнитного поля, перпендикулярного проводнику; $R = 0{,}02$ Ом — сопротивление резистора; $q = 1$ мкКл $= 10^{-6}$ Кл — заряд конденсатора; $C$ — искомая электроёмкость; $v$ — скорость проводника; $\varepsilon$ — ЭДС индукции; $I$ — сила тока в проводнике; $U$ — напряжение на резисторе (оно же — на конденсаторе, включённом параллельно резистору); $F_A$ — сила Ампера; $g = 10$ м/с$^2$.

Используемые законы.

• Второй закон Ньютона; движение равномерное $\Rightarrow$ ускорение равно нулю, сумма сил равна нулю.
• Сила Ампера: $F_A = BIl$ (поле перпендикулярно проводнику).
• ЭДС индукции для проводника, движущегося в магнитном поле: $\varepsilon = Blv$.
• Закон Ома для участка цепи: $U = IR$.
• Определение электроёмкости: $C = \dfrac{q}{U}$.

Ход решения. Проводник движется вниз равномерно, значит он находится в равновесии. Трения нет, сопротивлением проводника и шин пренебрегаем; на проводник действуют сила тяжести $m\vec g$ (вниз) и сила Ампера $\vec F_A$ (вверх — она всегда тормозит движение, по правилу Ленца). Условие равновесия в проекции на вертикаль:

$$mg = BIl \;\Longrightarrow\; I = \frac{mg}{Bl}.$$

Скорость постоянна, поэтому постоянна и ЭДС $\varepsilon = Blv$, а значит постоянно и напряжение на конденсаторе. Заряд конденсатора не меняется, ток через его ветвь не течёт, и весь ток проводника идёт через резистор. Тогда

$$U = IR = \frac{mgR}{Bl},\qquad C = \frac{q}{U} = \frac{qBl}{mgR}.$$

Числовые расчёты:

$$I = \frac{0{,}025\cdot 10}{0{,}5\cdot 0{,}1} = \frac{0{,}25}{0{,}05} = 5\ \text{А},\qquad U = 5\cdot 0{,}02 = 0{,}1\ \text{В},$$

$$C = \frac{10^{-6}}{0{,}1} = 1\cdot 10^{-5}\ \text{Ф} = 10\ \text{мкФ}.$$

Ответ: $C = 10^{-5}$ Ф $= 10$ мкФ.