Задание №25 — Модуль вектора магнитной индукции и его направление

Решение:

Обозначения. $m = 14$ г $= 0{,}014$ кг — масса проводника; $L = 40$ см $= 0{,}4$ м — длина участка проводника с током (расстояние между рельсами); $I = 3$ А — сила тока; $\alpha = 30^{\circ}$ — угол наклона плоскости к горизонту; $\mu = 0{,}2$ — коэффициент трения; $\vec B$ — индукция вертикального однородного магнитного поля; $\vec N$ — сила нормальной реакции рельсов; $\vec F_A$ — сила Ампера; $\vec F_{\text{тр}}$ — сила трения скольжения; $g = 10$ м/с$^2$ — ускорение свободного падения.

Рисунок: силы, действующие на проводник. Проводник считаем материальной точкой; к нему приложены четыре силы:

• сила тяжести $m\vec g$ — вертикально вниз;
• сила нормальной реакции $\vec N$ — перпендикулярно наклонной плоскости, наружу от неё;
• сила Ампера $\vec F_A$: так как проводник горизонтален, а $\vec B$ вертикальна, вектор $\vec F_A$ лежит в горизонтальной плоскости и направлен перпендикулярно проводнику — в сторону подъёма (по горизонтальной проекции скорости); только такое направление обеспечивает движение вверх;
• сила трения скольжения $\vec F_{\text{тр}}$ — вдоль наклонной плоскости вниз по склону, против направления движения проводника.

Используемые законы. Сила Ампера при $\vec B \perp$ проводнику: $F_A = BIL$. Сила трения скольжения: $F_{\text{тр}} = \mu N$. Движение равномерное и прямолинейное, поэтому ускорение равно нулю и по второму закону Ньютона (в инерциальной системе отсчёта, связанной с землёй) векторная сумма всех сил равна нулю:

$$m\vec g + \vec N + \vec F_A + \vec F_{\text{тр}} = 0.$$

Направим ось $x$ вдоль наклонной плоскости вверх (по движению), ось $y$ — по внешней нормали к плоскости. Горизонтальная сила Ампера даёт проекции $F_A\cos\alpha$ на ось $x$ и $-F_A\sin\alpha$ на ось $y$ (она дополнительно прижимает проводник к рельсам), сила тяжести — $-mg\sin\alpha$ и $-mg\cos\alpha$. Получаем систему:

$$x:\quad F_A\cos\alpha - mg\sin\alpha - \mu N = 0,$$

$$y:\quad N - mg\cos\alpha - F_A\sin\alpha = 0.$$

Из второго уравнения $N = mg\cos\alpha + F_A\sin\alpha$. Подставляя в первое:

$$F_A\cos\alpha - mg\sin\alpha - \mu\,(mg\cos\alpha + F_A\sin\alpha) = 0,$$

$$F_A(\cos\alpha - \mu\sin\alpha) = mg(\sin\alpha + \mu\cos\alpha),\qquad F_A = mg\,\frac{\sin\alpha + \mu\cos\alpha}{\cos\alpha - \mu\sin\alpha}.$$

Так как $F_A = BIL$, окончательно

$$B = \frac{mg(\sin\alpha + \mu\cos\alpha)}{IL(\cos\alpha - \mu\sin\alpha)}.$$

Подставим числа ($\sin 30^{\circ} = 0{,}5$, $\cos 30^{\circ} \approx 0{,}866$):

$$B = \frac{0{,}014\cdot 10\cdot(0{,}5 + 0{,}2\cdot 0{,}866)}{3\cdot 0{,}4\cdot(0{,}866 - 0{,}2\cdot 0{,}5)} = \frac{0{,}14\cdot 0{,}673}{1{,}2\cdot 0{,}766} = \frac{0{,}0942}{0{,}919} \approx 0{,}10\ \text{Тл}.$$

Ответ: $B \approx 0{,}1$ Тл.