Задание №22 — Условия равновесия тела

Решение:

Обозначения. $L = 3\ \text{м}$ — длина стержня, $A$ — его верхний (левый) конец, упирающийся в левую стенку, $B$ — нижний (правый) конец, лежащий в углу ящика, $C$ — точка подвеса шара, $d = 1\ \text{м}$ — расстояние $AC$ от левого конца стержня, $m = 3\ \text{кг}$ — масса шара, $\alpha = 45^{\circ}$ — угол стержня с вертикалью, $g = 10\ \text{м/с}^2$ — ускорение свободного падения. Через $N$ обозначим модуль силы нормальной реакции правой стенки, действующей на нижний конец стержня, через $N_1$ — модуль силы нормальной реакции левой стенки, действующей на верхний конец, через $N_2$ — модуль силы нормальной реакции дна.

Силы, действующие на стержень. Стержень невесом и покоится. Стенки и дно гладкие, поэтому их реакции перпендикулярны соответствующим поверхностям:

• в точке $A$ — сила $\vec{N_1}$ со стороны левой стенки, направленная горизонтально вправо;
• в точке $B$ — сила $\vec{N}$ со стороны правой стенки, направленная горизонтально влево, и сила $\vec{N_2}$ со стороны дна, направленная вертикально вверх;
• в точке $C$ — сила натяжения нити, направленная вертикально вниз; шар висит на нити в покое, поэтому по второму закону Ньютона для шара натяжение нити равно $mg$, и по третьему закону Ньютона нить тянет стержень вниз с такой же по модулю силой $mg$.

Условия равновесия. Для покоящегося твёрдого тела векторная сумма всех приложенных сил равна нулю и алгебраическая сумма моментов всех сил относительно любой оси равна нулю.

Проекция условия равновесия сил на горизонтальную ось: $N_1 - N = 0$, то есть $N = N_1$.

Правило моментов относительно нижнего конца $B$. Моменты сил $\vec{N}$ и $\vec{N_2}$ относительно этой оси равны нулю, так как их плечи равны нулю. Плечо горизонтальной силы $\vec{N_1}$ равно вертикальному расстоянию от $B$ до $A$, то есть $L\cos\alpha$. Плечо вертикальной силы $mg$ равно горизонтальному расстоянию от $B$ до $C$, то есть $(L - d)\sin\alpha$. Эти моменты противоположны по знаку, поэтому

$N_1 L\cos\alpha = mg(L - d)\sin\alpha$.

Отсюда

$N = N_1 = \dfrac{mg(L-d)\sin\alpha}{L\cos\alpha} = \dfrac{mg(L-d)}{L}\operatorname{tg}\alpha$.

Расчёт. $N = \dfrac{3\ \text{кг}\cdot 10\ \text{м/с}^2\cdot(3 - 1)\ \text{м}}{3\ \text{м}}\cdot\operatorname{tg}45^{\circ} = \dfrac{30\cdot 2}{3}\ \text{Н} = 20\ \text{Н}$.

Проверка. Из условия равновесия в проекции на вертикаль $N_2 = mg = 30\ \text{Н}$. Полученное значение $N \lt mg$ разумно: чем ближе точка подвеса к верхнему концу, тем меньше плечо силы тяжести шара относительно $B$ и тем меньше распорная сила; при $d \to L$ (шар на нижнем конце) получилось бы $N = 0$.

Ответ: $N = 20\ \text{Н}$.