Задание №22 — Гармонические колебания материальной точки

Решение:

Обозначения. $m = 0{,}5\ \text{кг}$ — масса тележки, $k = 200\ \text{Н/м}$ — жёсткость пружины, $v_{\text{макс}} = 3\ \text{м/с}$ — максимальная скорость тележки, $A$ — искомая амплитуда колебаний, $\omega$ — циклическая частота колебаний, $x$ — смещение тележки от положения равновесия.

Модель. Тележка, прикреплённая к горизонтальной пружине, — горизонтальный пружинный маятник. Массой колёс пренебрегаем, трения нет, деформации пружины упругие (справедлив закон Гука $F_{\text{упр}} = -kx$), поэтому колебания свободные гармонические. Сила тяжести и сила нормальной реакции опоры вертикальны и компенсируют друг друга, вдоль горизонтали действует только сила упругости.

Первый способ (кинематика гармонических колебаний). Для пружинного маятника $\omega = \sqrt{\dfrac{k}{m}}$. При гармоническом движении $x = A\cos(\omega t + \varphi)$, а скорость $v = \dot{x} = -A\omega\sin(\omega t + \varphi)$, поэтому её максимальный модуль равен

$v_{\text{макс}} = \omega A$, откуда $A = \dfrac{v_{\text{макс}}}{\omega} = v_{\text{макс}}\sqrt{\dfrac{m}{k}}$.

Расчёт: $\omega = \sqrt{\dfrac{200\ \text{Н/м}}{0{,}5\ \text{кг}}} = 20\ \text{с}^{-1}$, тогда $A = \dfrac{3\ \text{м/с}}{20\ \text{с}^{-1}} = 0{,}15\ \text{м}$.

Второй способ (закон сохранения энергии). Трения нет, поэтому полная механическая энергия системы «тележка + пружина» сохраняется. Максимальная скорость достигается в положении равновесия (пружина не деформирована), а в крайнем положении ($|x| = A$) скорость равна нулю:

$\dfrac{m v_{\text{макс}}^2}{2} = \dfrac{k A^2}{2}$, откуда $A = v_{\text{макс}}\sqrt{\dfrac{m}{k}} = 3\ \text{м/с}\cdot\sqrt{\dfrac{0{,}5\ \text{кг}}{200\ \text{Н/м}}} = 0{,}15\ \text{м}$.

Оба способа дают одинаковый результат.

Ответ: $A = 0{,}15\ \text{м} = 15\ \text{см}$.